資料結構之二叉樹
本文是資料結構和演算法之美學習筆記
樹
樹這種資料結構跟現實中的樹很像，裡面的每個元素叫做結點，用連線把相鄰的結點連線起來，相鄰結點之間的關係叫父子關係。
比如下圖中，A結點是B的父節點，B是A的子結點，B,C,D是兄弟結點，E沒有父節點稱為根節點，沒有子節點的結點是葉子結點，G,H,I,H,K,L都是葉子結點。
樹一般用三個概念可以描述，高度，深度，層
高度：結點到葉子結點的最長路徑（邊數）
深度：根結點到這個結點所經歷的邊的個數
層數：結點的深度加1
樹的高度：根結點的高度
高度是從下往上度量，就像數樓層。深度從上往下度量，就像往水下看，層數是跟深度類似，不過是以1為起點。
二叉樹
顧名思義，就是每個結點最多有兩個叉，也就是兩個葉子結點，左子節點和右子節點，左右子節點只要存在一個就行。
如果除了葉子結點外的每個結點都有左右兩個子節點，這種二叉樹叫“滿二叉樹”
如果葉子結點都在最底下兩層，最後一層的葉子結點都靠左排列，並且除了最後一層，其他的結點個數都要達到最大，這種二叉樹叫做“完全二叉樹”
如何儲存一個二叉樹？
可以使用基於指標的或者引用的二叉鏈式儲存法，或者基於陣列的順序儲存法。
鏈式儲存法：
每個結點有三個欄位，其中一個快取資料，剩下的兩個分別是指向左右子節點的指標。我們只要找到根節點就能通過左右指標找到所有資料。
順序儲存法：
把根節點儲存在下標為i=1的位置，左子節點儲存在下標為2 i=2的位置，右子節點儲存在2 i+1=3的位置，以此類推。
對於順序儲存法來說，完全二叉樹更能節省記憶體。
二叉樹的遍歷
經典的方法有三種：前序遍歷，中序遍歷，後序遍歷。前中後表示的是結點本身列印的順序。
- 前序遍歷是對於樹種的任意結點來說，先列印這個結點，然後在列印它的左子樹，最後列印它的右子樹
- 中序遍歷是對於樹種任意結點來說，先列印它的左子樹，在列印它本身，最後列印它的右子樹
- 後序遍歷是先對於樹種任意結點來說，先列印左子樹，在列印右子樹，最後列印結點本身。
其實二叉樹的前中後遍歷就是一個遞迴的過程。比如前序遍歷，就是先列印跟結點，然後遞迴列印左子樹，在遞迴列印右子樹。
遍歷方法：
void preOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
System.out.print(root.data);
preOrder(root->left);
preOrder(root->right);
}
void inOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
inOrder(root->left);
System.out.print(root.data);
inOrder(root->right);
}
void postOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
postOrder(root->left);
postOrder(root->right);
System.out.print(root.data);
}
還有一種按層遍歷，這個需要用到佇列
public void levelOrder(BinaryTree tree) {
// 利用佇列先入先出的特點來實現按層遍歷
LinkedList<BinaryTree> linkedList = new LinkedList<>();
// 記錄當前遍歷到哪個結點
BinaryTree currentNode = tree;
// 根節點入隊
linkedList.add(currentNode);
// 從佇列中彈出各結點資料，直到佇列為空，遍歷完畢
while (linkedList.size()>0){
// 彈出隊首元素(當前結點)，列印其資料，並依次將其左右子節點入隊
currentNode = linkedList.poll();
System.out.print(currentNode.data+" -> ");
if (currentNode.left!=null) {
linkedList.add(currentNode.left);
}
if (currentNode.right!=null) {
linkedList.add(currentNode.right);
}
}
}
二叉樹最大的特點就是支援動態資料集合的快速插入、刪除、查詢操作。
二叉查詢樹（Binary Search Tree）
二叉查詢樹也叫二叉搜尋樹，是為了實現快速查詢而生的，不過它不僅支援快速查詢還支援快速插入刪除。
二叉查詢樹規定：在樹中的任意一個節點，其左子樹的每個值都小於這個節點的值，右子樹的每個值都大於這個節點的值。
1.二叉查詢樹的查詢
先取根節點，如果它等於我們要查詢的資料，那就返回，如果要查詢的資料小於根節點的值，那就在左子樹中查詢，反之就在右子樹中查詢。
程式碼：
public class BinarySearchTree {
private Node tree;
public Node find(int data) {
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data < p.data) p = p.left;
else if (data > p.data) p = p.right;
else return p;
}
return null;
}
public static class Node {
private int data;
private Node left;
private Node right;
public Node(int data) {
this.data = data;
}
}
}
2.二叉查詢樹的插入
新插入的資料一般都是在葉子節點，我們需要從根節點開始依次比較要插入的資料和節點的大小關係。如果要插入的資料比節點的資料大，並且節點的右子樹為空，就把資料插到右子節點的位置，如果不為空就在遞迴遍歷右子樹，直到找到插入的位置。如果要插入的資料比節點數值小並且節點的左子樹為空，就插入，不為空，遞迴遍歷左子樹直到找到插入位置。
程式碼：
public void insert(int data) {
if (tree == null) {
tree = new Node(data);
return;
}
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data > p.data) {
if (p.right == null) {
p.right = new Node(data);
return;
}
p = p.right;
} else { // data < p.data
if (p.left == null) {
p.left = new Node(data);
return;
}
p = p.left;
}
}
}
3.二叉查詢樹的刪除
刪除操作比插入和查詢操作麻煩一點
（1）如果要刪除的節點是葉子節點，我們只需更新父節點指向刪除節點的指標為null
（2）如果要刪除的節點只有一個子節點，我們只需要更新其父節點中指向要刪除節點的指標，讓它指向要刪除的節點的子節點就好了
（3）如果要刪除的節點有兩個子節點，我們需要找到這個節點的右子樹中的最小節點，或者這個節點的左子樹的最大節點，把它替換到要刪除的節點上。因為父節點的指標一定比所有左子樹的節點值大，比右子樹的節點的值
程式碼：
public void delete(int data) {
Node p = tree; // p 指向要刪除的節點，初始化指向根節點
Node pp = null; // pp 記錄的是 p 的父節點
while (p != null && p.data != data) {
pp = p;
if (data > p.data) p = p.right;
else p = p.left;
}
if (p == null) return; // 沒有找到
// 要刪除的節點有兩個子節點
if (p.left != null && p.right != null) { // 查詢右子樹中最小節點
Node minP = p.right;
Node minPP = p; // minPP 表示 minP 的父節點
while (minP.left != null) {
minPP = minP;
minP = minP.left;
}
p.data = minP.data; // 將 minP 的資料替換到 p 中
p = minP; // 下面就變成了刪除 minP 了
pp = minPP;
}
// 刪除節點是葉子節點或者僅有一個子節點
Node child; // p 的子節點
if (p.left != null) child = p.left;
else if (p.right != null) child = p.right;
else child = null;
if (pp == null) tree = child; // 刪除的是根節點
else if (pp.left == p) pp.left = child;
else pp.right = child;
}
中序遍歷二叉樹可以輸出有序的資料序列，並且非常高效。因此二叉查詢樹也叫做二叉排序樹。
如果資料中有重複的資料怎麼辦？
（1）二叉查詢樹中不僅會儲存一個數據，我們可以通過連結串列和支援動態擴容的陣列，把相同的值儲存在同一個節點上。
（2）插入資料的時候，如果碰到一個節點的值與要插入的資料的值相同，就將這個要插入的資料放到這個節點的右子樹，也就是把它當成大於這個節點的值來處理。
當要查詢資料的時候，遇到值相同的節點，不停止查詢操作，而是繼續在右子樹中查詢，直到遇到葉子節點停止。
刪除資料的時候，先找到每個要刪除的節點，然後按照前面的刪除方法依次刪除。