知多一點二進位制中的負數
hello~親愛的看官老爺們新年好~相信不少同學知道，如果要將一個數字轉換為它的相反數，在 Javascript 中，除了在它前面加個-
號之外，還可以對該數字進行取反，之後再加 1。前者（本質是 0 減去對應的數字）可以得到相反數，完全符合我們的直覺，但為何取反加一也可以，這看起來不太科學，本文將帶你一探究竟~
友情提示，計算機科班的童鞋，對此應該是爛熟於心了，可能對你幫助有限。但不清楚其中細節的同學，希望本文能滿足你好奇心之餘，瞭解多一點二進位制的知識。以下是正文~
從減法開始
估計各位童鞋肯定聽過以下這條法則：
減去一個數，等於加上這個數的相反數。
同時也應該瞭解，為了區分正負數，二進位制中的最高位是符號位，其中正數的符號位是 0，而負數的符號位為 1。以 Java 的 byte 型別（8位，範圍是 -128 ~ 127，即00000000
至11111111
）為例，如果按照直覺，既然最高位為符號位，那麼 -1 應該表示為10000001
。想法很美好，現實卻很骨感。
思考以下問題，儘管負數不確定，但我們肯定正數 1 表示為00000001
，如果需要得到算式1-1
的結果 ，按照上面的法則，可以將算式轉化為1+(-1)
進行運算，但是10000001
+00000001
，無論怎麼進行運算，似乎都很難得到00000000
這個值吧？由此可見，計算機中儲存負數的值，並不是那麼簡單的~
撥動時鐘
負數的探索似乎陷入了死衚衕，那讓我們先把目光轉移一下，從螢幕轉到牆上的時鐘之上~假設這個鍾時針和分針可以分別進行調整，互不影響，且現在時鐘顯示的時間是 10:40，但對比北京時間，快了 10 分鐘，那麼我們改如何調整時鐘呢？簡單地做個算式：
45 -10 ---------- 35 複製程式碼
得出的答案是 35，那麼將分針調整到 35 的位置即可，也不需要調整時針。很簡單對吧？那如果現在時間也是 10:40，但時間快了 15 分鐘，那該如何調整？你心中估計會想，那還不簡單，豎式一樣能算出來~但這裡加一個需求，不希望豎式中出現借位（也就是 運算40-15
時，由於被減數個位不如減數個位大，需要被減數從十位中借 1 到個位之上），那該如何實現呢？
emmmmmmmm，似乎比較麻煩~借位是由於被減數的某一位不夠減數大而導致的，那如果被減數足夠大，似乎就能解決這問題。原式是40-15
，可以等價改寫為40+(59-15)-59
，答案是完全一致的。但這裡還是有問題，運算兩次之後，剩下的算式為84-59
，仍然要借位不是嗎？那我們再改寫一下：40+(59-15)+1-60
。這樣的算式運算下來，不再需要借位了。換成時鐘操作，就是直接將分針調整到 25 即可。
看到這裡，估計你心中會多了一點明悟，但似乎其中還有一些說不過去的地方對吧？比如這個例子：現在的時間是 10:15，現在的時間比北京時間快了 40 分鐘，那該如何進行運算呢？按照上面的例子，可以依樣寫下這條算式15+(59-40)+1-60
，但問題來了，算到最後，是35-60
,還是要借位不是嗎？
是，但可以不是。-60
在時鐘上的本質是，將時針回撥一下。那麼35-60
，其實可以分解為兩個操作，時針撥動到 35 的位置，時針回撥到 9 的位置，現在的時間為 09:35，難道不是正確的答案嗎？
不那麼一樣的數軸
在恍然大悟前先停一下，還有一點點東西需要了解。相信數軸的概念銘刻在各位心中，它是完全符合直覺的，且數軸是無窮的，相信大家也都知道，一般印象中的數軸如下：
-60, -59, -58, -57···, -2, -1, 0, 1, 2···57, 58, 59
但如果數軸是有範圍的話，假設總共只有 120 個整數在數軸上，如果我們想消除負號，那麼用正數表示負數，也未嘗不可，比如以 59 為分界，大於 59 的數均為負數。即 -1 表示為 119，-40 表示為 80，-25 表示為 95 等：
60, 61, 62, 63···118, 119, 0, 1, 2···57, 58, 59
那麼之前時鐘的例子，是以 59 作為避免借位的被減數，但這是為了方便時鐘撥動，這裡我們再往前跨一步，剛才時鐘的運算：15-40
可以表示為15+80
，運算結果是 95，對錶查詢可得，95 的值代表的是 -25，運算正確！
你可能會吐槽減法是借位了，但主要是為了方便映照時鐘的例子，換成 999 作為避免借位的被減數，就是標準對 9 的補數。不妨在紙上畫一下，此時 -1 表示為 999，-40 表示為 959，-25 表示為 974，15-40
即015+959
,運算結果是 974，也是完全對應上的。
重回二進位制
有了上面的鋪墊，二進位制的負數已經呼之欲出啦~符號位天然可以作為正負數的分割點。還是以 Java 的 byte 型別為例，8 位一共可以表示 256 個數字，由於 0 表示為00000000
，首位符號位也是 0，因而正數少一位，按照上一節的例子，推出當前序列為：
10000001, 10000002···11111101, 11111110, 11111111, 00000000, 00000001···01111101, 01111110, 01111111
| 二進位制數 | 十進位制數 |
|---|---|
| 10000000 | -128 |
| 10000001 | -127 |
| 10000002 | -126 |
| ··· | ··· |
| 11011000 | -40 |
| ··· | ··· |
| 11100111 | -25 |
| ··· | ··· |
| 00001111 | 15 |
| ··· | ··· |
| 01111111 | 127 |
那麼還是這條算式：15-40
，二進位制中即為00001111+11011000
,稍微數一下手指，得出答案是 11100111,對應的值為 -25！然而，這個表背起來是沒意義的，那該如何運算呢？思考一下，之前運算15-40
時，我們轉換為15+(59-40)+1-60
，59 為足夠大的被減數，在 byte 型別中，最大的數不會超過11111111
（即 255），因而可以轉換為：
11111111(255) -00101000(40) +00000001(1) +00001111(15) -100000000(256) 複製程式碼
二進位制其實十分有趣，先觀察首先需要運算的11111111-00101000
，結果是 11010111，也就是各位取反，下一步是加一，得到結果是 11011000，不就是表中 -40 對應的值了麼？所以該表的推導是有嚴格的數學意義的，並不是隨便編造一個表，到這裡，應該明白為何在計算機中，取某個數的相反數是取反再加一了吧~
算式最後一步是減去 256，計算機中這步都可以省下了，因為 256 已經超過 byte 的範圍，直接忽略。同理，如果計算如-1+1
之類的算式時，會得到答案是 256 （即 100000000），但由於超過範圍，首位 1 直接被忽略不計，因而得出的答案是 0 。以上運算，符號位均參與運算，並不需要區別對待，這對計算機而言是非常友好的。
小結
為嚴謹起見，補充兩個條件：
- 運算數均為整數。
- 計算結果均不溢位。
以上就是全文的內容啦，二進位制相關的知識，其實是相當有意思的，也許瞭解它們並不會使我們的程式碼能力突飛猛進，但保持好奇心，不斷探索未知的領域，一定是一個良好的習慣~
感謝各位看官大人看到這裡，知易行難，希望本文對你有所幫助~謝謝！