二叉堆及堆排序
二叉堆是一種特殊的堆，二叉堆是完全二元樹（二叉樹）或者是近似完全二元樹（二叉樹）。
二叉堆有兩種：最大堆和最小堆。
最大堆：父結點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值;
最小堆：父結點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值。
對於二叉堆，如下有幾種操作
插入節點
二叉堆的節點插入，插入位置是完全二叉樹的最後一個位置。比如我們插入一個新節點，值是 0。
這時候，我們讓節點0的它的父節點5做比較，如果0小於5，則讓新節點“上浮”，和父節點交換位置。
繼續用節點0和父節點3做比較，如果0小於3，則讓新節點繼續“上浮”。
繼續比較，最終讓新節點0上浮到了堆頂位置。
刪除節點
二叉堆的節點刪除過程和插入過程正好相反，所刪除的是處於堆頂的節點。比如我們刪除最小堆的堆頂節點1。
這時候，為了維持完全二叉樹的結構，我們把堆的最後一個節點10補到原本堆頂的位置。
接下來我們讓移動到堆頂的節點10和它的左右孩子進行比較，如果左右孩子中最小的一個（顯然是節點2）比節點10小，那麼讓節點10“下沉”。
繼續讓節點10和它的左右孩子做比較，左右孩子中最小的是節點7，由於10大於7，讓節點10繼續“下沉”。
這樣一來，二叉堆重新得到了調整。
構建二叉堆
構建二叉堆，也就是把一個無序的完全二叉樹調整為二叉堆，本質上就是讓所有非葉子節點依次下沉。
我們舉一個無序完全二叉樹的例子：
首先，我們從最後一個非葉子節點開始，也就是從節點10開始。如果節點10大於它左右孩子中最小的一個，則節點10下沉。
接下來輪到節點3，如果節點3大於它左右孩子中最小的一個，則節點3下沉。
接下來輪到節點1，如果節點1大於它左右孩子中最小的一個，則節點1下沉。事實上節點1小於它的左右孩子，所以不用改變。
接下來輪到節點7，如果節點7大於它左右孩子中最小的一個，則節點7下沉。
節點7繼續比較，繼續下沉。
這樣一來，一顆無序的完全二叉樹就構建成了一個最小堆。
堆的程式碼實現
二叉堆一般用陣列來表示。如果根節點在陣列中的位置是1，第n個位置的子節點分別在2n和 2n+1。因此，第1個位置的子節點在2和3，第2個位置的子節點在4和5。以此類推。這種基於1的陣列儲存方式便於尋找父節點和子節點。
如上圖所示二叉堆所示用陣列方式表示為 | 1 | 5 | 2 | 6 | 7 | 3 | 8 | 9 | 10 |
堆得程式碼表示
/**
* 上浮調整
*
* @param array 待調整的堆
*/
public static void upAdjust(int[] array) {
int childIndex = array.length - 1;
int parentIndex = (childIndex - 1) / 2;
// temp儲存插入的葉子節點值，用於最後的賦值
int temp = array[childIndex];
while (childIndex > 0 && temp < array[parentIndex]) {
//無需真正交換，單向賦值即可
array[childIndex] = array[parentIndex];
childIndex = parentIndex;
parentIndex = (parentIndex - 1) / 2;
}
array[childIndex] = temp;
}
/**
* 下沉調整
*
* @param array待調整的堆
* @param parentIndex 要下沉的父節點
* @param length堆的有效大小
*/
public static void downAdjust(int[] array, int parentIndex, int length) {
// temp儲存父節點值，用於最後的賦值
int temp = array[parentIndex];
int childIndex = 2 * parentIndex + 1;
while (childIndex < length) {
// 如果有右孩子，且右孩子小於左孩子的值，則定位到右孩子
if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] < array[childIndex]) {
childIndex++;
}
// 如果父節點小於任何一個孩子的值，直接跳出
if (temp <= array[childIndex])
break;
//無需真正交換，單向賦值即可
array[parentIndex] = array[childIndex];
parentIndex = childIndex;
childIndex = 2 * childIndex + 1;
}
array[parentIndex] = temp;
}
/**
* 構建堆
*
* @param array 待調整的堆
*/
public static void buildHeap(int[] array) {
// 從最後一個非葉子節點開始，依次下沉調整
int parent = array.length / 2 - 1;
for (int i = parent; i >= 0; i--) {
downAdjust(array, i, array.length);
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] array = new int[]{1, 3, 2, 6, 5, 7, 8, 9, 10, 0};
upAdjust(array);
System.out.println(Arrays.toString(array));
array = new int[]{7, 1, 3, 10, 5, 2, 8, 9, 6};
buildHeap(array);
System.out.println(Arrays.toString(array));
}
[0, 1, 2, 6, 3, 7, 8, 9, 10, 5]
[1, 5, 2, 6, 7, 3, 8, 9, 10]
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堆排序
堆排序演算法的步驟：
1、把無序陣列構建成二叉堆。
2、迴圈刪除堆頂元素，移到集合尾部，調節堆產生新的堆頂。
public static void heapSort(int[] array) {
// 1.把無序陣列構建成二叉堆。
for (int i = (array.length - 2) / 2; i >= 0; i--) {
downAdjust(array, i, array.length);
}
System.out.println(Arrays.toString(array));
// 2.迴圈刪除堆頂元素，移到集合尾部，調節堆產生新的堆頂。
for (int i = array.length - 1; i > 0; i--) {
// 最後一個元素和第一元素進行交換
int temp = array[i];
array[i] = array[0];
array[0] = temp;
// 下沉調整最大堆
downAdjust(array, 0, i);
}
}
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