【RAY TRACING THE REST OF YOUR LIFE 超詳解】 光線追蹤 3-1
摘要：
今天起，我們就開始學習第三本書了
這本書主要講的是蒙特卡羅渲染，以及相關的數學、術語概念等
我們先來一個簡單的開胃菜
chapter 1：A Simple Monte Carlo Program
蒙特卡羅方法（MC）是一種統計模擬方法，是一類很重要的數值計算方法，...
今天起，我們就開始學習第三本書了
這本書主要講的是蒙特卡羅渲染，以及相關的數學、術語概念等
我們先來一個簡單的開胃菜
chapter 1：A Simple Monte Carlo Program
蒙特卡羅方法（MC）是一種統計模擬方法，是一類很重要的數值計算方法，它是一種使用隨機數解決好很多實際問題的方法。
先來看一個很簡單的例子：估計π
有很多經典的方法，其中之一是
假設你扔了很多隨機的點到方框中，那麼有一部分在圓內，其中圓內點和方框點的比例應該就是圓的面積和方框面積的比例，由此：
比例 = (π * R * R)/((2R)*(2R)) = π/4
所以上式和R無關，我們任意取R = 1，圓心位於原點，則
#include <iostream>
#include <lvgm\randfunc.hpp>
#define stds std::
using namespace lvgm;
void estimate_π(const size_t points)
{
int inside = 0;
for (int i = 0; i < points; ++i)
{
double x = 2 * rand01() - 1;
double y = 2 * rand01() - 1;
if (x*x + y*y < 1)
inside++;
}
stds cout << "Estimate of π by" << points << "test points is " << 4 * double(inside) / points << stds endl;
}
int main()
{
estimate_π(1000);
estimate_π(10000);
estimate_π(100000);
estimate_π(1000000);
estimate_π(10000000);
estimate_π(10000000 / 2);
}
模擬結果為
當然我們可以利用下面的程式使結果迅速逼近π
void lawDiminishingReturns()
{
int inside = 0;
int runs = 0;
while (true)
{
runs++;
double x = 2 * rand01() - 1;
double y = 2 * rand01() - 1;
if (x*x + y*y < 1)
inside++;
if(runs % 10000 == 0)
stds cout << "Estimate of π by" << runs << "test points is " << 4 * double(inside) / runs << stds endl;
}
}
結果：
. 
一開始非常快速的逼近π，之後變化就比較緩慢了，這是一個收益遞減法( Law of Diminishing Returns) 的例子
即每一個樣本對結果的收益少於後面一個，這個是MC的一個缺點，我們可以通過對樣本進行分層來減輕這種遞減收益，此法通常稱為抖動
我們進行網格劃分，並在每個網格中選取一個樣本：
我們採用邊長為1e4的方框進行測試
void stratify()
{
size_t inside{ 0 };
size_t circle_stratified{ 0 };
size_t sqrtAll = 1e4;
for (int i = 0; i < sqrtAll; ++i)
for (int j = 0; j < sqrtAll; ++j)
{
double x = 2 * rand01() - 1;
double y = 2 * rand01() - 1;
if (x*x + y*y < 1)
inside++;
x = 2 * ((i + rand01()) / sqrtAll) - 1;
y = 2 * ((j + rand01()) / sqrtAll) - 1;
if (x*x + y*y < 1)
circle_stratified++;
}
stds cout << "Regular Estimate of π by 1e8 test points is " << 4 * double(inside) / 1e8 << stds endl;
stds cout << "Stratified Estimate of π by 1e8 test points is " << 4 * double(circle_stratified) / 1e8 << stds endl;
}
圖片渲染運算讀寫檔案的時候慢。。如今控制檯運算輸出也整不動了。。。。
有意思~
分層方法能更好地收斂於漸近率。不足之處是，這個優勢隨著問題的維度而降低（例如，對於3D球體積版本，差距會更小）。 這被稱為維度詛咒（=.=）。 我們的工程將是非常高的維度（每個反射增加兩個維度），所以我不會在本書中進行分層。
但是，如果你做的是單反射或陰影或某些嚴格的2D問題，分層是個很好的選擇
感謝您的閱讀，生活愉快~