資料結構和演算法面試題系列-棧
這個系列是我多年前找工作時對資料結構和演算法總結，其中有基礎部分，也有各大公司的經典的面試題，最早釋出在CSDN。現整理為一個系列給需要的朋友參考，如有錯誤，歡迎指正。本系列完整程式碼地址在 這裡 。
0 概述
棧作為一種基本的資料結構，在很多地方有運用，比如函式遞迴，前後綴表示式轉換等。本文會用C陣列來實現棧結構(使用連結串列實現可以參見連結串列那一節，使用頭插法構建連結串列即可)，並對常見的幾個跟棧相關的面試題進行分析，本文程式碼在 這裡 。
1 定義
我們使用結構體來定義棧，使用柔性陣列來儲存元素。幾個巨集定義用於計算棧的元素數目及棧是否為空和滿。
typedef struct Stack {
int capacity;
int top;
int items[];
} Stack;
#define SIZE(stack) (stack->top + 1)
#define IS_EMPTY(stack) (stack->top == -1)
#define IS_FULL(stack) (stack->top == stack->capacity - 1)
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2 基本操作
棧主要有三種基本操作：
- push：壓入一個元素到棧中。
- pop：彈出棧頂元素並返回。
- peek：取棧頂元素，但是不修改棧。
如圖所示：
程式碼如下：
Stack *stackNew(int capacity)
{
Stack *stack = (Stack *)malloc(sizeof(*stack) + sizeof(int) * capacity);
if (!stack) {
printf("Stack new failed\n");
exit(E_NOMEM);
}
stack->capacity = capacity;
stack->top = -1;
return stack;
}
void push(Stack *stack, int v)
{
if (IS_FULL(stack)) {
printf("Stack Overflow\n");
exit(E_FULL);
}
stack->items[++stack->top] = v;
}
int pop(Stack *stack)
{
if (IS_EMPTY(stack)) {
printf("Stack Empty\n");
exit(E_EMPTY);
}
return stack->items[stack->top--];
}
int peek(Stack *stack)
{
if (IS_EMPTY(stack)) {
printf("Stack Empty\n");
exit(E_EMPTY);
}
return stack->items[stack->top];
}
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3 棧相關面試題
3.1 字尾表示式求值
題：已知一個字尾表示式 6 5 2 3 + 8 * + 3 + * ，求該字尾表示式的值。
解：字尾表示式也叫逆波蘭表示式，其求值過程可以用到棧來輔助儲存。則其求值過程如下：
- 1）遍歷表示式，遇到的數字首先放入棧中，此時棧為
[6 5 2 3]。 - 2）接著讀到
+，則彈出3和2，計算3 + 2，計算結果等於5，並將5壓入到棧中，棧為[6 5 5]。 - 3）讀到
8，將其直接放入棧中，[6 5 5 8]。 - 4）讀到
*，彈出8和5，計算8 * 5，並將結果40壓入棧中，棧為[6 5 40]。而後過程類似，讀到+，將40和5彈出，將40 + 5的結果45壓入棧，棧變成[6 45]，讀到3，放入棧[6 45 3]...以此類推，最後結果為288。
程式碼:
int evaluatePostfix(char *exp)
{
Stack* stack = stackNew(strlen(exp));
int i;
if (!stack) {
printf("New stack failed\n");
exit(E_NOMEM);
}
for (i = 0; exp[i]; ++i) {
// 如果是數字，直接壓棧
if (isdigit(exp[i])) {
push(stack, exp[i] - '0');
} else {// 如果遇到符號，則彈出棧頂兩個元素計算，並將結果壓棧
int val1 = pop(stack);
int val2 = pop(stack);
switch (exp[i])
{
case '+': push(stack, val2 + val1); break;
case '-': push(stack, val2 - val1); break;
case '*': push(stack, val2 * val1); break;
case '/': push(stack, val2/val1);break;
}
}
}
return pop(stack);
}
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3.2 棧逆序
題：給定一個棧，請將其逆序。
解1：如果不考慮空間複雜度，完全可以另外弄個輔助棧，將原棧資料全部 pop 出來並 push 到輔助棧即可。
解2：如果在面試中遇到這個題目，那肯定是希望你用更好的方式實現。可以先實現一個在棧底插入元素的函式，然後便可以遞迴實現棧逆序了，不需要用輔助棧。
* 在棧底插入一個元素
*/
void insertAtBottom(Stack *stack, int v)
{
if (IS_EMPTY(stack)) {
push(stack, v);
} else {
int x = pop(stack);
insertAtBottom(stack, v);
push(stack, x);
}
}
/**
* 棧逆序
*/
void stackReverse(Stack *stack)
{
if (IS_EMPTY(stack))
return;
int top = pop(stack);
stackReverse(stack);
insertAtBottom(stack, top);
}
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3.3 設計包含min函式的棧
題：設計一個棧，使得push、pop以及min（獲取棧中最小元素）能夠在常數時間內完成。
分析：剛開始很容易想到一個方法，那就是額外建立一個最小二叉堆儲存所有元素，這樣每次獲取最小元素只需要 O(1) 的時間。但是這樣的話，為了建最小堆 push 和 pop 操作就需要 O(lgn) 的時間了（假定棧中元素個數為n），不符合題目的要求。
解1：輔助棧方法
那為了實現該功能，可以使用輔助棧使用一個輔助棧來儲存最小元素，這個解法簡單不失優雅。設該輔助棧名字為 minStack ，其棧頂元素為當前棧中的最小元素。這意味著
- 1）要獲取當前棧中最小元素，只需要返回 minStack 的棧頂元素即可。
- 2）每次執行 push 操作時，檢查 push 的元素是否小於或等於 minStack 棧頂元素。如果是，則也push 該元素到 minStack 中。
- 3）當執行 pop 操作的時候，檢查 pop 的元素是否與當前最小值相等。如果相等，則需要將該元素從minStack 中 pop 出去。
程式碼：
void minStackPush(Stack *orgStack, Stack *minStack, int v)
{
if (IS_FULL(orgStack)) {
printf("Stack Full\n");
exit(E_FULL);
}
push(orgStack, v);
if (IS_EMPTY(minStack) || v < peek(minStack)) {
push(minStack, v);
}
}
int minStackPop(Stack *orgStack, Stack *minStack)
{
if (IS_EMPTY(orgStack)) {
printf("Stack Empty\n");
exit(E_EMPTY);
}
if (peek(orgStack) == peek(minStack)) {
pop(minStack);
}
return pop(orgStack);
}
int minStackMin(Stack *minStack)
{
return peek(minStack);
}
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示例：
假定有元素 3，4，2，5，1 依次入棧 orgStack ，輔助棧 minStack 中元素為 3，2，1 。
解2：差值法
另外一種解法利用儲存差值而不需要輔助棧，方法比較巧妙：
- 棧頂多出一個空間用於儲存棧最小值。
-
push時壓入的是當前元素與壓入該元素前的棧中最小元素(棧頂的元素)的差值，然後通過比較當前元素與當前棧中最小元素大小，並將它們中的較小值作為新的最小值壓入棧頂。 -
pop函式執行的時候，先pop出棧頂的兩個值，這兩個值分別是當前棧中最小值min和最後壓入的元素與之前棧中最小值的差值delta。根據delta < 0或者delta >= 0來獲得之前壓入棧的元素的值和該元素出棧後的新的最小值。 -
min函式則是取棧頂元素即可。
程式碼：
void minStackPushUseDelta(Stack *stack, int v)
{
if (IS_EMPTY(stack)) { // 空棧，直接壓入v兩次
push(stack, v);
push(stack, v);
} else {
int oldMin = pop(stack); // 棧頂儲存的是壓入v之前的棧中最小值
int delta = v - oldMin;
int newMin = delta < 0 ? v : oldMin;
push(stack, delta); // 壓入 v 與之前棧中的最小值之差
push(stack, newMin); // 最後壓入當前棧中最小值
}
}
int minStackPopUseDelta(Stack *stack)
{
int min = pop(stack);
int delta = pop(stack);
int v, oldMin;
if (delta < 0) { // 最後壓入的元素比min小，則min就是最後壓入的元素
v = min;
oldMin = v - delta;
} else { // 最後壓入的值不是最小值，則min為oldMin。
oldMin = min;
v = oldMin + delta;
}
if (!IS_EMPTY(stack)) { // 如果棧不為空，則壓入oldMin
push(stack, oldMin);
}
return v;
}
int minStackMinUseDelta(Stack *stack)
{
return peek(stack);
}
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示例：
push(3): [3 3] push(4): [3 1 3] push(2): [3 1 -1 2] push(5): [3 1 -1 3 2] push(1): [3 1 -1 3 -1 1] min(): 1，pop(): 1，[3 1 -1 3 2] min(): 2，pop(): 5，[3 1 -1 2] min(): 2，pop(): 2，[3 1 3] min(): 3，pop(): 4，[3 3] min(): 3，pop(): 3，[ ] 複製程式碼
3.4 求出棧數目和出棧序列
求出棧數目
題：已知一個入棧序列，試求出所有可能的出棧序列數目。例如入棧序列為 1，2，3 ，則可能的出棧序列有5種： 1 2 3，1 3 2 ，2 1 3，2 3 1，3 2 1 。
解：要求解出棧序列的數目，還算比較容易的。已經有很多文章分析過這個問題，最終答案就是卡特蘭數，也就是說 n 個元素的出棧序列的總數目等於 C(2n, n) - C(2n, n-1) = C(2n, n) / (n+1) ，如 3 個元素的總的出棧數目就是 C(6, 3) / 4 = 5 。
如果不分析求解的通項公式，是否可以寫程式求出出棧的序列數目呢？答案是肯定的，我們根據當前棧狀態可以將 出棧一個元素 和 入棧一個元素 兩種情況的總的數目相加即可得到總的出棧數目。
/**
* 計算出棧數目
* - in：目前棧中的元素數目
* - out：目前已經出棧的元素數目
* - wait：目前還未進棧的元素數目
*/
int sumOfStackPopSequence(Stack *stack, int in, int out, int wait)
{
if (out == stack->capacity) { // 元素全部出棧了，返回1
return 1;
}
int sum = 0;
if (wait > 0) // 進棧一個元素
sum += sumOfStackPopSequence(stack, in + 1, out, wait - 1);
if (in > 0) // 出棧一個元素
sum += sumOfStackPopSequence(stack, in - 1, out + 1, wait);
return sum;
}
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求所有出棧序列
題：給定一個輸入序列 input[] = {1, 2, 3} ，列印所有可能的出棧序列。
解：這個有點難，不只是出棧數目，需要列印所有出棧序列，需要用到回溯法，回溯法比簡單的遞迴要難不少，後面有時間再單獨整理一篇回溯法的文章。出棧序列跟入棧出棧的順序有關，對於每個輸入，都會面對兩種情況: 是先將原棧中元素出棧還是先入棧 ，這裡用到兩個棧來實現，其中棧 stk 用於模擬入棧出棧，而棧 output 用於儲存出棧的值。 注意退出條件是當遍歷完所有輸入的元素，此時棧 stk 和 output 中都可能有元素，需要先將棧 output 從棧底開始列印完，然後將棧 stk 從棧頂開始列印即可。 另外一點就是，當我們使用的模擬棧 stk 為空時，則這個分支結束。程式碼如下：
void printStackPopSequence(int input[], int i, int n, Stack *stk, Stack *output)
{
if (i >= n) {
stackTraverseBottom(output); // output 從棧底開始列印
stackTraverseTop(stk); // stk 從棧頂開始列印
printf("\n");
return;
}
push(stk, input[i]);
printStackPopSequence(input, i+1, n, stk, output);
pop(stk);
if (IS_EMPTY(stk))
return;
int v = pop(stk);
push(output, v);
printStackPopSequence(input, i, n, stk, output);
push(stk, v);
pop(output);
}
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