線性代數 Cheat Sheet 4-2：零空間、列空間和線性變換
線上性代數的應用中，$\mathbb{R}^n$ 的子空間通常由以下兩種方式產生：（1）作為齊次線性方程組的解集；（2）作為某些確定向量的線性組合的集合。
Contents
1. 矩陣的零空間
滿足 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的所有 $\boldsymbol x$ 的集合稱為矩陣 $A$ 的零空間 。
定義矩陣 $A$ 的零空間寫成 $\mathrm{Nul}\; A$，是齊次方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的全體解的集合。用集合符號表示，即
\begin{equation}
\mathrm{Nul}\; A = \{\boldsymbol x: \boldsymbol x \in \mathbb{R}^n, \; A \boldsymbol x = \boldsymbol 0\}
\end{equation}
$\mathrm{Nul}\; A$ 的更進一步的描述為 $\mathbb{R}^n$ 中通過線性變換 $\boldsymbol x \mapsto A \boldsymbol x$ 對映到 $\mathbb{R}^m$ 中的零向量的全體向量 $\boldsymbol x$ 的集合。
一個矩陣的零空間是一個向量空間。
定理 2$m \times n$ 矩陣 $A$ 的零空間是 $\mathbb{R}^n$ 的一個子空間。等價地，$m$ 個方程、$n$ 個未知數的齊次線性方程組 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 的全體解的集合是 $\mathbb{R}^n$ 的一個子空間。
注意上面定理中“齊次”這個條件時很重要的。對於非齊次方程組，零向量不是它的解，方程組的解集不能確定一個子空間；而且解集可能是空集。
$\mathrm{Nul}\; A$ 中向量與 $A$ 中的元素之間沒有明顯的關係，稱 $\mathrm{Nul}\; A$ 被隱式地定義。
2. 矩陣的列空間
矩陣的列空間由列向量的線性組合顯式地定義。
定義$m \times n$ 矩陣 $A$ 的列空間 （記為 $\mathrm{Col}\; A$）是由 $A$ 的列的所有線性組合組成的集合。若 $A = [\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n]$，則 $\mathrm{Col}\; A = \mathrm{Span} \{\boldsymbol a_1, \cdots, \boldsymbol a_n\}$。
定理 3$m \times n$ 矩陣的列空間是 $\mathbb{R}^m$ 的一個子空間。
注意 $\mathrm{Col}\; A$ 中一個典型向量可寫成 $A \boldsymbol x$ 的形式，其中 $\boldsymbol x$ 為某向量，這是因為 $A \boldsymbol x$ 表示 $A$ 的列向量的一個線性組合，即
\begin{equation}
\mathrm{Col}\; A = \{\boldsymbol b: \boldsymbol b = A \boldsymbol x, \; \boldsymbol x \in \mathbb{R}^n\}
\end{equation}
上式中的 $A \boldsymbol x$ 也表明 $\mathrm{Col}\; A$ 是線性變換 $\boldsymbol x \mapsto A\boldsymbol x$ 的值域。
前面定理 4 說明 $A$ 的列生成 $\mathbb{R}^m$ 當且僅當方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 對任意 $\boldsymbol b$ 有解，這一事實可以重述為：
$m \times n$ 矩陣 $A$ 的列空間等於 $\mathbb{R}^m$ 當且僅當 $A \boldsymbol x = \boldsymbol b$ 對 $\mathbb{R}^m$ 中的每個 $\boldsymbol b$ 有一個解。
3. 線性變換的核與值域
定義由向量空間 $V$ 對映到向量空間 $W$ 內的線性變換 $T$ 是一個規則，它將 $V$ 中每個向量 $\boldsymbol x$ 對映成 $W$ 中唯一向量 $T(\boldsymbol x)$，且滿足：
(i) $T(\boldsymbol u + \boldsymbol v) = T(\boldsymbol u) + T(\boldsymbol v)$，對 $V$ 中所有 $\boldsymbol u, \boldsymbol v$ 均成立。
(ii) $T(c \boldsymbol u) = cT(\boldsymbol u)$，對 $V$ 中所有 $\boldsymbol u$ 及所有數 $c$ 均成立。
線性變換 $T$ 的核 （或零空間 ）是 $V$ 中所有滿足 $T(\boldsymbol u) = \boldsymbol 0$ 的向量 $\boldsymbol u$ 的集合（$\boldsymbol 0$ 為 $W$ 中的零向量），它是一個子空間。$T$ 的值域 是 $W$ 中所有具有形式 $T(\boldsymbol x)$（任意 $\boldsymbol x \in V$）的向量的集合。如果 $T$ 是由一個矩陣變換得到的，比如對某矩陣 $A$，$T(\boldsymbol x) = A \boldsymbol x$，則 $T$ 的核與值域恰好是 $A$ 的零空間和列空間。
在應用中，一個子空間往往由一個適當的線性變換和核或值域產生。比如一個齊次線性微分方程的全部解的集合是一個線性變換的核。