如何確定ARIMA模型中引數p、d、q

摘要： 在先前學習的使用ARIMA預測時間序列的文章中，對於如何確定引數p、d、q還是存在一些疑問，今天學習的這篇文章主要講解的是如何確定p、d、q引數。 實驗資料：連結: https://pan.baidu.com/s/14Nt8aU3NbgzBt2lA_jmB6Q 提取碼: 8rbt 讀...

在先前學習的使用ARIMA預測時間序列的文章中，對於如何確定引數p、d、q還是存在一些疑問，今天學習的這篇文章主要講解的是如何確定p、d、q引數。

實驗資料：連結: https://pan.baidu.com/s/14Nt8aU3NbgzBt2lA_jmB6Q 提取碼: 8rbt

讀取並觀察資料

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
 
data = pd.read_csv("arima-demo.csv",parse_dates=['date'],index_col='date')
print(data.head())
data.plot(figsize=(12,6))

從上圖可知，存在一定的增長趨勢。

時間序列的差分d

ARIMA 模型對時間序列的要求是平穩型。因此，當你得到一個非平穩的時間序列時，首先要做的即是做時間序列的差分，直到得到一個平穩時間序列。如果你對時間序列做d次差分才能得到一個平穩序列，那麼可以使用ARIMA(p,d,q)模型，其中d是差分次數。

1階差分：

diff1 = data.diff(1)
diff1.plot(figsize=(12,6))

目測已經平穩，再來看看2階差分的效果：

diff2 = data.diff(2)
diff2.plot(figsize=(12,6))

可以看到二階差分侯差異不大，所以這裡d設定為1即可。

階層 p 和階數 q

現在我們已經得到一個平穩的時間序列，接來下就是選擇合適的ARIMA模型，即ARIMA模型中合適的p,q。

第一步我們要先檢查平穩時間序列的自相關圖和偏自相關圖。

diff1.dropna(inplace=True)
fig = plt.figure(figsize=(12,8))
ax1=fig.add_subplot(211)
fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(diff1,lags=40,ax=ax1)
ax2 = fig.add_subplot(212)
fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(diff1,lags=40,ax=ax2)

其中lags 表示滯後的階數，以上分別得到acf 圖和pacf 圖。通過兩圖觀察得到：

• 自相關圖顯示滯後有3（4）個階超出了置信邊界
• 偏相關圖顯示在滯後1至7階（lags 1,2,…，7）時的偏自相關係數超出了置信邊界，從lag 7之後偏自相關係數值縮小至0

則有以下模型可以供選擇：

• ARMA(0,1)模型：即自相關圖在滯後1階之後縮小為0，且偏自相關縮小至0，則是一個階數q=1的移動平均模型；
• ARMA(7,0)模型：即偏自相關圖在滯後7階之後縮小為0，且自相關縮小至0，則是一個階層p=3的自迴歸模型；
• ARMA(7,1)模型：即使得自相關和偏自相關都縮小至零。則是一個混合模型。

為了確定哪個模型最合適，可以採用如下準則進行判定：

• AIC=-2 ln(L) + 2 k 中文名字：赤池資訊量 akaike information criterion
• BIC=-2 ln(L) + ln(n)*k 中文名字：貝葉斯資訊量 bayesian information criterion
• HQ=-2 ln(L) + ln(ln(n))*k hannan-quinn criterion

arma_mod70 = sm.tsa.ARMA(diff1,(7,0)).fit()
print("arma_mod70:",arma_mod70.aic,arma_mod70.bic,arma_mod70.hqic)
arma_mod01 = sm.tsa.ARMA(diff1,(0,1)).fit()
print("arma_mod01:",arma_mod01.aic,arma_mod01.bic,arma_mod01.hqic)
arma_mod71 = sm.tsa.ARMA(diff1,(7,1)).fit()
print("arma_mod71:",arma_mod71.aic,arma_mod71.bic,arma_mod71.hqic)
 
arma_mod70: 1579.7025547690232 1602.1002820966125 1588.7304359010805
arma_mod01: 1632.3203732818517 1639.7862823910482 1635.3296669925376
arma_mod71: 1581.0916055163707 1605.9779692136922 1591.12258455199

可以看到ARMA(7,0)的aic，bic，hqic均最小，因此是最佳模型。

模型校驗

在指數平滑模型下，觀察ARIMA模型的殘差是否是平均值為0且方差為常數的正態分佈（服從零均值、方差不變的正態分佈），同時也要觀察連續殘差是否（自）相關。

殘差的自相關一偏自相關

對ARMA(7,0)模型所產生的殘差做自相關圖：

resid = arma_mod70.resid#殘差
fig = plt.figure(figsize=(12,8))
ax1 = fig.add_subplot(211)
fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(resid.values.squeeze(), lags=40, ax=ax1)
ax2 = fig.add_subplot(212)
fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(resid, lags=40, ax=ax2)

看一看到大部分都在置信空間內，部分超出也只超出一點點。

D－W檢驗

ofollow,noindex" target="_blank">Durbin-Watson檢驗 ，簡稱D-W檢驗，是目前檢驗自相關性最常用的方法，但它只使用於檢驗一階自相關性。當DW值顯著的接近於O或４時，則存在自相關性，而接近於２時，則不存在（一階）自相關性。

print(sm.stats.durbin_watson(resid))
# 2.024244082702278

觀察是否符合正態分佈

這裡使用 QQ圖 ，它用於直觀驗證一組資料是否來自某個分佈，或者驗證某兩組資料是否來自同一（族）分佈。在教學和軟體中常用的是檢驗資料是否來自於正態分佈。

from statsmodels.graphics.api import qqplot
fig = plt.figure(figsize=(12,6))
ax = fig.add_subplot(111)
fig = qqplot(resid, line='q', ax=ax, fit=True)

Ljung-Box檢驗

Ljung-Box test是對randomness的檢驗,或者說是對時間序列是否存在滯後相關的一種統計檢驗。對於滯後相關的檢驗，我們常常採用的方法還包括計算ACF和PCAF並觀察其影象，但是無論是ACF還是PACF都僅僅考慮是否存在某一特定滯後階數的相關。LB檢驗則是基於一系列滯後階數，判斷序列總體的相關性或者說隨機性是否存在。 時間序列中一個最基本的模型就是高斯白噪聲序列。而對於ARIMA模型，其殘差被假定為高斯白噪聲序列，所以當我們用ARIMA模型去擬合數據時，擬合後我們要對殘差的估計序列進行LB檢驗，判斷其是否是高斯白噪聲，如果不是，那麼就說明ARIMA模型也許並不是一個適合樣本的模型。

import numpy as np
r,q,p = sm.tsa.acf(resid.values.squeeze(), qstat=True)
data = np.c_[range(1,41), r[1:], q, p]
table = pd.DataFrame(data, columns=['lag', "AC", "Q", "Prob(>Q)"])
print(table.set_index('lag'))

            AC          Q  Prob(>Q)
lag                                
1.0  -0.014445   0.019203  0.889787
2.0  -0.047441   0.228719  0.891937
3.0   0.097778   1.129072  0.770061
4.0   0.047514   1.344178  0.853837
5.0   0.156219   3.697174  0.593785
6.0  -0.017855   3.728282  0.713391
7.0  -0.241230   9.475812  0.220274
8.0   0.068078   9.939217  0.269318
9.0  -0.012041   9.953895  0.354231
10.0 -0.256684  16.708543  0.081067
11.0 -0.085178  17.461885  0.094936
12.0 -0.063577  17.887029  0.119164
13.0 -0.096512  18.879634  0.126883
14.0  0.181119  22.422039  0.070348
15.0 -0.223097  27.869400  0.022401
16.0  0.012916  27.887910  0.032608
17.0  0.176769  31.402779  0.017833
18.0 -0.053140  31.724897  0.023694
19.0 -0.057704  32.110150  0.030374
20.0  0.037425  32.274556  0.040459
21.0  0.120519  34.004510  0.036199
22.0  0.102662  35.278536  0.036225
23.0 -0.007830  35.286058  0.048710
24.0 -0.148547  38.035517  0.034383
25.0  0.046254  38.306261  0.043173
26.0 -0.032621  38.443060  0.055055
27.0  0.032381  38.580025  0.069141
28.0  0.124968  40.653492  0.057760
29.0 -0.092711  41.813707  0.058361
30.0 -0.033602  41.968698  0.072016
31.0  0.011216  41.986264  0.090054
32.0 -0.016597  42.025405  0.110574
33.0 -0.047033  42.345328  0.127733
34.0  0.001922  42.345872  0.154137
35.0 -0.022258  42.420173  0.181558
36.0 -0.003481  42.422025  0.213721
37.0 -0.083009  43.495231  0.214345
38.0 -0.089174  44.758050  0.209260
39.0  0.005255  44.762523  0.242730
40.0 -0.065663  45.475168  0.254607

檢驗的結果就是看最後一列前十二行的檢驗概率（一般觀察滯後1~12階），如果檢驗概率小於給定的顯著性水平，比如0.05就拒絕原假設，其原假設是相關係數為零。就結果來看，如果取顯著性水平大於0.05，那麼相關係數與零沒有顯著差異，即為白噪聲序列。

參考連結：https://blog.csdn.net/u010414589/article/details/49622625