算法系列：Objective-C四種演算法求斐波那契數列
什麼是斐波那契數列?
摘自《維基百科》
斐波那契數列（ofollow,noindex">義大利語 ：Successione di Fibonacci），又譯為菲波拿契數列 、菲波那西數列 、斐波那契數列 、黃金分割數列 。
在數學 上，費波那契數列 是以遞迴 的方法來定義：F(1)=1，F(2)=1, F(3)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=4，n∈N*）
用文字來說，就是費波那契數列由0和1開始，之後的費波那契係數就是由之前的兩數相加而得出。首幾個費波那契係數是：0 ,1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,89 ,144 ,233 ……
摘自《百度百科》
斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割 數列、因數學家 列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列 ”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞推的方法定義：F(1)=1，F(2)=1, F(3)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=4，n∈N*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1963年起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜誌，用於專門刊載這方面的研究成果。
定義：
斐波那契數列指的是這樣一個數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........
這個數列從第3項開始，每一項都等於前兩項之和。
斐波那契數列 的定義者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契 （Leonardo Fibonacci），生於公元1170年，卒於1250年，籍貫是比薩 。他被人稱作“比薩的列昂納多 ”。1202年，他撰寫了《算盤全書》（Liber Abacci）一書。他是第一個研究了印度 和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞 地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及 、敘利亞 、希臘、西西里 和普羅旺斯 等地研究數學。
看了這麼多簡介之後，其實說的簡單點斐波那契數列就是一系列數字，從第三項開始當前項等於前兩項之和。下面我用OC給出斐波那契數列
第一種方式：
斐波那契數列遞迴呼叫，指數級增長2^n。遞迴方式效率低，時間複雜度是指數級的。
/**
斐波那契數列遞迴呼叫，指數級增長2^n
*/
- (NSUInteger)Fibonacci:(NSUInteger)n {
if (n < 2) {
return n;
}
else {
return [self Fibonacci:n-1] + [self Fibonacci:n-2];
}
}
第二種方式：
用陣列儲存之前計算過的結果，減少大量重複計算，這樣演算法複雜度優化為 O(n)。
- (NSUInteger)Fibonacci2:(NSUInteger)n {
if (n < 2) {
return n;
}
else {
NSMutableArray *array = [NSMutableArray arrayWithCapacity:n + 1];
array[0] = @(0);
array[1] = @(1);
for (int i = 2; i < array.count; i++) {
array[i] = @([array[i - 1] unsignedIntegerValue] + [array[i - 2] unsignedIntegerValue]);
}
return [array[n] unsignedIntegerValue];
}
}
第三種方式：
同樣是斐波那契數列，由於實際只有前兩個計算結果有用，我們可以使用中間變數來儲存，這樣就不用建立陣列以節省空間。同樣演算法複雜度優化為 O(n)。
- (NSUInteger)Fibonacci3:(NSUInteger)n {
//NSDate *now1 = [NSDate date];
if (n < 2) {
return n;
}
else {
NSUInteger a = 0, b = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
b = a + b;
a = b - a;
}
//NSLog(@"fb3耗時：%lf", [now1 timeIntervalSinceNow]);
return b;
}
}
第四種方式：
通過使用矩陣乘方的演算法來優化斐波那契數列演算法。演算法的時間複雜度可以優化為O(log n)。
// 計算二階矩陣的相乘
- (NSArray *)multiArrayA:(NSArray *)arrayA arrayB:(NSArray *)arrayB {
// 定義一個空的二階矩陣
NSMutableArray *arrayC = [NSMutableArray arrayWithObjects:@[@0,@0].mutableCopy,@[@0,@0].mutableCopy, nil];
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
for (int k = 0; k < 2; k++) {
NSNumber *numA = arrayA[i][k];
NSNumber *numB = arrayB[k][j];
NSNumber *numC = arrayC[i][j];
// 新二階矩陣的值計算
numC = @(numC.unsignedIntegerValue + numA.unsignedIntegerValue * numB.unsignedIntegerValue);
[arrayC[i] replaceObjectAtIndex:j withObject:numC];
}
}
}
return arrayC;
}
- (NSUInteger)Fibonacci4:(NSUInteger)n {
//NSDate *now2 = [NSDate date];
// 結果矩陣最開始的結果矩陣也可以看做是1，因為這個矩陣和任意二階A矩陣相乘結果都是A
NSArray *arrayA = [NSArray arrayWithObjects:@[@1,@0],@[@0,@1], nil];
// 元矩陣，這裡可以把元矩陣看做是2**0=1
NSArray *arrayB = [NSArray arrayWithObjects:@[@1,@1],@[@1,@0], nil];
while (n) {
// 取n的二進位制的最後一位和1做與運算，如果最後一位是1，則進入if體內部
if (n & 1) {
// 如果在該位置n的二進位制為1，則計算ans和base矩陣
arrayA = [self multiArrayA:arrayA arrayB:arrayB];
}
// base矩陣相乘，相當於初始base矩陣的冪*2
arrayB = [self multiArrayA:arrayB arrayB:arrayB];
// n的二進位制往右移一位
n >>= 1;
}
NSNumber *result = arrayA[0][1]; // 最後獲取到的二階矩陣的[0][1]即f(n)的值
//NSLog(@"fb4耗時：%lf", [now2 timeIntervalSinceNow]);
return result.unsignedIntegerValue;
}