演算法的複雜度

對於任何一個程式來說，都可以從三個方面進行分析，分別是 輸入 、 處理 、 輸出 ，也即 IPO （Input、Process、Output），這種分析方法對硬體和軟體程式都是適用的。

資料的來源（Input）：可以是硬體感測器收集的，也可以是從網上爬取的…。資料的輸出（Output）：可以顯示在網頁上，安卓APP上，電子螢幕上…。而最重要的是程式處理，可以對資料進行簡單的處理，也可以對資料進行挖掘…。

就拿最簡單的 Hello World 程式來說，也是由這三方面組成的，輸出函式（處理）幫你處理輸入的 “Hello World” 字串（輸入），然後再幫你將這些字元輸出顯示到控制檯上（輸出）。大到現在熱門的技術，物聯網、大資料，人工智慧等，做的也無非都是上面三個方面內的事情，關於這些，讀者可以思考一下。

評價一個程式的複雜程度，關鍵也是看程式中處理資料的這部分，對資料處理就要用到演算法了。什麼？你說你沒有用過演算法，其實從你程式設計開始的第一句 “Hello World” 就註定程式設計和演算法分不開了，一個輸出函式背後也同樣有演算法呀，只是你在使用演算法的時候並沒有意識到你在用演算法罷了（嘿嘿，就是這麼神奇~）。

演算法是一個程式的靈魂，就好比沒有蛋的泡麵是沒有靈魂的一樣。一個好的演算法可以有很多的應用，比如在美劇《矽谷》中，主角發明了一種壓縮演算法，將它用在音樂、雲端儲存、視訊等方面都大獲成功。雖然故事是虛構的，但是在一方面也說明了演算法的重要性。

分析一個演算法的複雜度，也是在分析一個演算法的好壞優劣，簡單高效的演算法才是我們應該追求的，而複雜低效的演算法則是我們需要改進的。演算法的複雜度包括 時間複雜度 和 空間複雜度 ，下面將用盡量少的概念來幫你搞懂這兩個度。

1、什麼是演算法的時間複雜度？

討論演算法的時間複雜度，也是在討論程式使用該演算法執行的時間。經常聽到身邊的同學說我的電腦好慢呀，打開個軟體都要一分多鐘，急死人了。這從演算法的角度看，只能說電腦硬體比較差，不一定說程式寫的很垃圾（當然也有可能有程式的鍋），同樣的程式可能在別人配置高的電腦上開啟就很快。所以你看單純從程式執行需要的時間長短上，並不能反映演算法的優劣，因為這和執行的裝置也有很大關係（計算機計算主要用到的是 CPU 和 GPU）。

演算法的時間複雜度並不能以具體的時間數值為單位（如1秒鐘，1分鐘等），那演算法複雜度中的時間單位是什麼呢？這個時間單位其實更像是程式中執行的次數或者步驟數。

舉個栗子，當你忘記東西放哪裡了，可能會把所有的抽屜都找一遍，假如你有 n 個抽屜，那麼找完 n 個抽屜就可以找到你的東西了，每個抽屜都找了一遍，就找了 n 遍。演算法的時間複雜度（執行時間）用大 O 表示（不需要關心大 O 表示法怎麼來的，就是個名字），把你找東西的這個過程寫成程式，演算法的時間複雜度就是 O(n)，是不是感覺演算法其實就在我們中間。

在上面這個例子中，最好的情況是，當你找完第一個抽屜，你就找到你的東西了，這當然是最好的了，用大 O 表示法表示就是 O(1)，但是這樣的情況存在偶然性，並不能代表演算法的複雜度；最壞的情況是，直到你找完最後一個抽屜，累的要死，你才找到你的東西，用大 O 表示法表示就是 O(n)。位於最壞和最好之間的情況是，當你找到中間一個抽屜時，你找到的你的東西了，用大 O 表示法表示就是 O(n/2)。

那麼這三種情況，哪一種應該代表演算法的時間複雜度呢？最好的情況畢竟是小概率事件，不具有普適性，肯定是不能代表演算法真實的時間複雜度。平均的情況，確實在一定程度上可以反映出演算法的時間複雜度，但是學過數學的我們知道，平均值容易受到極端值的影響（在評委打分時也經常是去掉最高分和最低分），所以平均情況也不是很合適。而最壞的情況卻可以給我們一種保證，我們心裡也可以有一個預期，這個演算法在最差的情況下表現如何（就像我們做事也常常考慮最壞的情況一樣），所以我們 用最壞情況下的時間複雜度來衡量演算法的時間複雜度 。

對於大 O 括號內的引數（或者稱為運算元）的係數，往往被我們主動忽略，如一個計算出所需次數為 n/2 的演算法，用大 O 表示法表示是 O(n)，而對於計算次數是個常數（如 1，5， 9）的演算法，用大 O 表示法表示都是 O(1)，這點是需要我們注意一下的。為什麼這樣做呢？因為對於計算次數是 n2/2 + n/2 + 5 這樣的演算法，起決定作用的是 n，而不是 n 前面的係數，當 n 為無窮大時，n 前面係數的影響就微不足道了，最終這個演算法的時間複雜度用大 O 表示法為 O(n2 + n)。

2、什麼是演算法的空間複雜度？

程式執行時肯定是要消耗空間資源的，暫存器、記憶體和磁碟等。輸入和輸出這兩部分佔用空間是必需的，所以程式處理的空間指的是程式執行演算法時所需的那部分空間。先來看個例子，交換兩個數的值，相信大家都做過吧，一般的方法是找一箇中間變數儲存其中一個數的值，再讓一個數等於另一個數的值，另外一個數等於中間變數的值，就像下面的虛擬碼這樣。

// 交換 a 和 b
temp = a
a = b
b = temp

棧這種資料結構，我都應該很熟悉，特點是先進後出（FILO），交換的這兩個數肯定都是要放在棧中的，但由於引入了中間變數實現，所以在程式棧中還要有中間變數的空間，一個變數佔用一塊棧空間（想象一下），我們用一個格子來表示，就像下面這樣，中間變數也要佔用一個格子（其實這個格子在其他棧中叫做 幀 ，如 Java虛擬機器的本地方法棧和虛擬機器棧，幀又是一種資料結構）。

因為這個值交換演算法用到了中間變數，而中間變數又要佔用一個格子，所以這個演算法的空間複雜度用大 O 表示法表示就是 O(1)。

相比較而言，演算法的空間複雜度比較簡單，所以我們在討論一個演算法時，更多的是討論演算法的時間複雜度。

3、一些常見的大 O 執行時間

• O(1)，如 y = x + 1，只需要一次計算便可得到結果。
• O(logn)，也稱為對數時間，如二分查詢演算法。
• O(n)，也稱為線性時間，如我們上面例子中的找東西，用的就是簡單查詢演算法。
• O(n*logn)，如快速排序演算法。
• O(n2)，如選擇排序演算法。
• O(n!)，如著名的旅行商問題。

這裡提到的演算法，將在後面的文章中討論，感興趣的小夥伴不妨先搜尋瞭解一下。

上面幾種大 O 執行時間，反應在圖中如下（注意：圖中曲線並不一定從原點開始畫的，只需要知道演算法執行時間的大概走勢就可以了）：

演算法的速度，指的並不是時間，而是增速，反應的在圖中就是曲線的斜率，可以看到，隨著輸入的增加，有的演算法所需要的時間越來長，也就是使用這種演算法的程式會越來越慢。

4、小結

演算法的複雜度和需要的時間、空間都有關係，我們更多談論的是演算法的時間複雜度， 演算法的時間複雜度不是以秒為單位 ， 演算法執行的速度是從其增速的角度度量的 ，也即是輸入越多，演算法執行的時間改變的快慢。一個好的演算法應該是時間複雜度和空間複雜度都比較低，通俗的說就是花最少的時間和精力達到最好的效果，但是這兩樣往往是很難同時做到的，這就需要我們犧牲一樣來做到儘可能的更好。

本文作者：Wizey

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