線性代數 Cheat Sheet 4-6：秩
設想一個填充滿隨機數的 $40 \times 50$ 矩陣 $A$，$A$ 中線性無關列的最大個數和 $A^\mathsf{T}$ 中線性無關列的最大個數（$A$ 中線性無關行的最大個數）是相同的，這個公共值是矩陣 $A$ 的秩。
若 $A$ 是一個 $m \times n$ 矩陣，$A$ 的每一行具有 $n$ 個元素，可以視為 $\mathbb{R}^n$ 中的一個向量，其行向量的所有線性組合的集合稱為 $A$ 的行空間 ，記為 $\mathrm{Row}\; A$。由於每一行具有 $n$ 個元素，所以 $\mathrm{Row}\; A$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一個子空間。因為 $A$ 的行與 $A^\mathsf{T}$ 的列相同，也可以用 $\mathrm{Col}\; A^\mathsf{T}$ 代替 $\mathrm{Row}\; A$。
定理 13若兩個矩陣 $A$ 和 $B$ 行等價，則它們的行空間相同。若 $B$ 是階梯形矩陣，則 $B$ 的非零行構成 $A$ 的行空間的一個基，同時也是 $B$ 的行空間的一個基。
注意上面定理中 “$B$ 的非零行”指的是 $B$ 本身的非零行，不是$B$ 非零行位置對應在 $A$ 中的行，因為對 $A$ 進行行變換會改變 $A$ 的行的相關關係。
也可以利用 $A$ 的行求 $A$ 的行空間 $\mathrm{Row}\; A$ 的基：對 $A^\mathsf{T}$ 進行行化簡（不改變 $A^\mathsf{T}$ 的列的相關關係），找到 $A^\mathsf{T}$ 的主元列，這些主元列是 $A$ 的行，構成 $A$ 的行空間的一個基。
定義$A$ 的秩 即 $A$ 的列空間的維數。
由於 $\mathrm{Row}\; A$ 與 $\mathrm{Col}\; A^\mathsf{T}$ 相同，故 $A$ 的行空間的維數等於 $A^\mathsf{T}$ 的秩。
定理 13（秩定理）$m \times n$ 矩陣 $A$ 的列空間和行空間的維數相等，這個公共的維數（即 $A$ 的秩）還等於 $A$ 中主元位置的個數，且滿足方程
\begin{equation}
\mathrm{rank}\; A + \dim \mathrm{Nul}\; A = n
\end{equation}
$\mathrm{Row}\; A$ 和 $\mathrm{Nul}\; A$ 的公共向量只有零向量，二者是相互“垂直”的。對 $\mathrm{Row}\; A^\mathsf{T}$（$= \mathrm{Col}\; A$） 和 $\mathrm{Nul}\; A^\mathsf{T}$ 有同樣的結果。
1. 秩和可逆矩陣定理
定理（可逆矩陣定理（續））令 $A$ 是一個 $n \times n$ 矩陣，則下列命題的每一個均等價於 $A$ 是可逆矩陣：
m. $A$ 的列構成 $\mathbb{R}^n$ 的一個基。
n. $\mathrm{Col}\; A = \mathbb{R}^n$。
o. $\dim \mathrm{Col}\; A = n$。
p. $\mathrm{rank}\; A = n$。
q. $\mathrm{Nul}\; A = {\boldsymbol 0}$。
r. $\dim \mathrm{Nul}\; A = 0$。