演算法與資料結構（五）樹表的查詢
*樹表的查詢*
（1）二叉排序樹
（2）二叉排序樹的操作——查詢
（3） 二叉排序樹的操作——插入
（4） 二叉排序樹的操作——生成
（5） 二叉排序樹的操作——刪除
（1）二叉排序樹
由於線性表的查詢更適合於靜態查詢表，若要對動態查詢表進行高效率的查詢，可採用二叉樹作為查詢表的組織形式，將其統稱為樹表。
二叉排序樹又稱二叉查詢樹，是一種對排序和查詢都很有用的特殊二叉樹。該表結構在查詢過程中動態生成，對於給定值key 若表中存在，則成功返回； 否則插入關鍵字等於key 的記錄。
二叉排序樹或是空樹，或是滿足如下性質的二叉樹：
(1)若其左子樹非空，則左子樹上所有結點的值均小於根結點的值；
(2)若其右子樹非空，則右子樹上所有結點的值均大於等於根結點的值；
(3)其左右子樹本身又各是一棵二叉排序樹。
☆ 中序遍歷二叉排序樹後的結果有什麼規律？
答：得到一個關鍵字的遞增有序序列
（2）二叉排序樹的操作——查詢
若查詢的關鍵字等於根結點，成功 否則 若小於根結點，查其左子樹 若大於根結點，查其右子樹 在左右子樹上的操作類似。
演算法思想：
（1）若二叉排序樹為空，則查詢失敗，返回空指標。
（2）若二叉排序樹非空，將給定值key與根結點的關鍵字T->data.key進行比較：
① 若key等於T->data.key，則查詢成功，返回根結點地址；
② 若key小於T->data.key，則進一步查詢左子樹；
③ 若key大於T->data.key，則進一步查詢右子樹。
程式碼：
1 BSTree SearchBST(BSTree T,KeyType key) {
2if((!T) || key==T->data.key) return T;
3else if (key<T->data.key)return SearchBST(T->lchild,key);
4//在左子樹中繼續查詢
5else return SearchBST(T->rchild,key);
6//在右子樹中繼續查詢
7 } // SearchBST
（3） 二叉排序樹的操作——插入
若二叉排序樹為空，則插入結點應為根結點 否則，繼續在其左、右子樹上查詢 樹中已有，不再插入 樹中沒有，查詢直至某個葉子結點的左子樹或右子樹為空為止，則插入結點應為該葉子結點的左孩子或右孩子
插入的元素一定在葉結點上
例：插入結點20：
（4） 二叉排序樹的操作——生成
從空樹出發，經過一系列的查詢、插入操作之後，可生成一棵二叉排序樹。
注意：不同插入次序的序列生成不同形態的二叉排序樹
查詢效能分析：
第i層結點需比較i次。在等概率的前提下，上述兩圖的平均查詢長度為：
總結：
平均查詢長度和二叉樹的形態有關，即：
最好：log2n（形態勻稱，與二分查詢的判定樹相似）
最壞: （n+1)/2（單支樹）
（5）二叉排序樹的操作——刪除
將因刪除結點而斷開的二叉連結串列重新連結起來，並且儘可能地防止重新連結後樹的高度增加。
刪除葉結點： 只需將其雙親結點指向它的指標清零，再釋放它即可。
被刪結點缺右子樹： 可以拿它的左子女結點頂替它的位置，再釋放它。
被刪結點缺左子樹： 可以拿它的右子女結點頂替它的位置，再釋放它。
被刪結點左、右子樹都存在： 可以在它的右子樹中尋找中序下的第一個結點(關鍵碼最小),或者左子樹中定址中序下的最後一個結點（關鍵碼最大），用它的值填補到被刪結點中，再來處理這個結點的刪除問題。