LeetCode演算法題-Count Primes（Java實現）
這是悅樂書的第190 次更新，第193 篇原創
01 看題和準備
今天介紹的是LeetCode演算法題中Easy級別的第49題（順位題號是204）。計算小於非負數n的素數的數量。例如：
輸入：10
輸出：4
說明：有4個素數小於10，它們是2,3,5,7。
本次解題使用的開發工具是eclipse，jdk使用的版本是1.8，環境是win7 64位系統，使用Java語言編寫和測試。
02 第一種解法
判斷一個數n是否為素數，就需要判斷1到n-1之間的數能否被n整除，能夠被整除說明不是素數，否則就是素數。
public int countPrimes(int n) {
if (n <= 2) {
return 0;
}
int count = 0;
for (int i=2;i<n; i++) {
boolean flag = true;
for (int j=2; j<i; j++) {
if (i%j == 0) {
flag = false;
}
}
if (flag) {
count++;
}
}
return count;
}
但是此解法的時間複雜度太高了，是O(n^2)，那就需要再優化下。
03 第二種解法
如果n可以被某個數p整除，則n = p×q，並且由於p≤q，我們可以推匯出p小於等於根號n。對正整數n，如果用2到根號n之間的所有整數去除，均無法整除，則n為質數。對於根號的處理，我們將內部迴圈換成指標的平方。
public int countPrimes2(int n) {
int count = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (isPrime(i)) count++;
}
return count;
}
private boolean isPrime(int num) {
if (num <= 1) return false;
for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
if (num % i == 0) return false;
}
return true;
}
04 第三種解法
一個素數的倍數都不是素數。 比如2，依次往上乘，4,6,8等等，他們都不是質數，再比如3，也可以依次往上乘，得到的結果也不是質數。
我們從2開始遍歷到根號n，先找到第一個質數2，然後將其所有的倍數全部標記出來，然後到下一個質數3，標記其所有倍數，一次類推，直到根號n，此時陣列中未被標記的數字就是質數。對此我們需要使用一個長度為n的布林型別陣列，來儲存那些被標記的非質數。外層迴圈和內層迴圈都是遍歷到根號n即可。
public int countPrimes3(int n) {
boolean[] isPrime = new boolean[n];
for (int i = 2; i < n; i++) {
isPrime[i] = true;
}
for (int i = 2; i * i < n; i++) {
if (!isPrime[i])
continue;
for (int j = i * i; j < n; j += i) {
isPrime[j] = false;
}
}
int count = 0;
for (int i = 2; i < n; i++) {
if (isPrime[i])
count++;
}
return count;
}
此解法的空間複雜度是O(n)，時間複雜度是O(nlog(log n))。
05 小結
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