線性代數 Cheat Sheet 5-2：特徵方程
1. 行列式
設 $A$ 是 $n \times n$ 矩陣，$U$ 是對 $A$ 作行替換和行交換（不做行倍乘）所得到的任一階梯型矩陣，$r$ 是行交換的次數，那麼 $A$ 的行列式 $\det A = (-1)^r u_{11} \cdots u_{nn}$。如果 $A$ 可逆，那麼 $u_{11} \cdots u_{nn}$ 都是主元（因為 $A \sim I_n$ 且 $u_{ii}$ 沒有歸一化）。否則，至少有 $u_{nn}$ 為零，從而乘積 $u_{11} \cdots u_{nn}$ 為零。因此
\begin{equation}
\det A = \begin{cases} (-1)^r u_{11} \cdots u_{nn} &當 A 可逆 \\ 0 & 當 A 不可逆\end{cases} \tag{1}
\end{equation}
式 $(1)$ 說明 $A$ 是可逆的當且僅當 $\det A$ 非零。
定理（可逆矩陣定理（續））設 $A$ 是 $n \times n$ 矩陣，則 $A$ 是可逆的當且僅當
s. $0$ 不是 $A$ 的特徵值。
t. $A$ 的行列式不等於 $0$。
定理 3（行列式的性質）設 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩陣。
a. $A$ 可逆的充要條件是 $\det A \neq 0$。
b. $\det AB = (\det A)(\det B)$。
c. $\det A^\mathsf{T} = \det A$。
d. 若 $A$ 是三角形矩陣，那麼 $\det A$ 是 $A$ 主對角元素的乘積。
e. 對 $A$ 作行替換不改變其行列式的值。作一次行交換，行列式的值符號改變一次。數乘一行後，行列式值等於用此數乘原來的行列式值。
2. 特徵方程
利用定理 3(a)，我們可以通過行列式來判斷矩陣 $A – \lambda I$ 是否可逆。數值方程 $\det (A – \lambda I) = 0$ 稱為 $A$ 的特徵方程 。
數 $\lambda$ 是 $n \times n$ 矩陣 $A$ 的特徵值的充要條件是 $\lambda$ 是特徵方程 $\det (A – \lambda I) = 0$ 的根。
如果 $A$ 是 $n \times n$ 矩陣，那麼 $\det (A – \lambda I)$ 是 $n$ 次多項式，稱為 $A$ 的特徵多項式 。
一般地，把特徵值 $\lambda$ 作為特徵方程根的重數稱為 $\lambda$ 的（代數 ）重數 。因為 $n \times n$ 矩陣的特徵方程包含有一個 $n$ 次多項式，所以如果算上重根，並允許有復根（稱為復特徵值），則特徵方程恰好有 $n$ 個根。
3. 相似性
假如 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩陣，如果存在可逆矩陣 $P$，使得 $P^{-1}AP= B$，或等價地 $A = PBP^{-1}$，則稱$A$ 相似於 $B$ 。記 $Q = P^{-1}$，則有 $Q^{-1}BQ = A$，即 $B$ 也相似於 $A$。故我們簡單說 $A$ 和 $B$ 是相似 的。把 $A$ 變成 $P^{-1}AP$ 的變換稱為相似變換 。
定理 4若 $n \times n$ 矩陣 $A$ 和 $B$ 是相似的，那麼它們有相同的特徵多項式，從而有相同的特徵值（和相同的重數）。
有相同特徵值的兩個矩陣不一定相似。相似和行等價是兩個概念，對矩陣作行變換通常會改變矩陣的特徵值。