[HNOI2011] XOR和路徑
摘要：
Description
給定一個\(N(N\leq 100)\)
個點的無向連通圖，邊有邊權。行動的規則是隨機選擇與當前點相連的一條邊，移動到這條邊的另一個頂點。求從\(1\)
到\(n\)
的經過的路徑上邊權的期望\(XOR\)
和。
Solut...
Description
給定一個\(N(N\leq 100)\) 個點的無向連通圖，邊有邊權。行動的規則是隨機選擇與當前點相連的一條邊，移動到這條邊的另一個頂點。求從\(1\) 到\(n\) 的經過的路徑上邊權的期望\(XOR\) 和。
Solution
跟兩年後的‘遊走’挺像的？這大概是一類套路？
顯然的狀態是\(f[i]\) 表示從\(i\) 到\(n\) 的期望\(XOR\) 和。
跟那個題不一樣的是這裡是求\(XOR\) 和，因為它有重邊不是很容易高斯消元，我們考慮拆位算這個東西。
拆了位問題就很簡單了。假設當前位數為\(bit\) 。
列舉\(i\) 的出邊，設另一個頂點是\(j\) 。如果這條邊的邊權的\(bit\) 位是\(1\) ，那麼\(f[i]+=(1-f[j])\) ，否則\(f[i]+=f[j]\) 。這樣資瓷合併，高斯消元套上去就完事了。
Code
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::vector;
const int N=105;
typedef double db;
typedef long long ll;
#define pb(A) push_back(A)
#define pii std::pair<int,int>
#define all(A) A.begin(),A.end()
#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)
db a[N][N],f[N],ans;
int n,m,cnt,head[N],deg[N];
struct Edge{
int to,nxt,dis;
}edge[N*200];
void add(int x,int y,int z){
edge[++cnt].to=y;
edge[cnt].nxt=head[x];
edge[cnt].dis=z;
head[x]=cnt;
}
int getint(){
int X=0,w=0;char ch=0;
while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();
if(w) return -X;return X;
}
db abs(db x){
return x>0?x:-x;
}
void print(){
for(int i=1;i<=n;i++,puts(""))
for(int j=1;j<=n+1;j++)
printf("%.3lf ",a[i][j]);
}
db calc(int bit){
memset(a,0,sizeof a);memset(f,0,sizeof f);
for(int i=1;i<n;i++){
a[i][i]=-deg[i];
for(int j=head[i];j;j=edge[j].nxt){
int to=edge[j].to;
if(to==n){
if(edge[j].dis>>bit&1) a[i][n]--;
} else{
if(edge[j].dis>>bit&1) a[i][to]--,a[i][n]--;
else a[i][to]++;
}
}
}
for(int i=1;i<n;i++){
int idx=i;
for(int j=i+1;j<n;j++){
if(abs(a[j][i])-abs(a[idx][i])>1e-8)
idx=j;
} swap(a[i],a[idx]);
for(int j=i+1;j<n;j++){
db tmp=a[j][i]/a[i][i];
for(int p=i;p<=n;p++)
a[j][p]-=tmp*a[i][p];
}
}
for(int i=n-1;i;i--){
for(int j=i+1;j<n;j++)
a[i][n]-=a[i][j]*f[j];
f[i]=a[i][n]/a[i][i];
} return f[1];
}
signed main(){
n=getint(),m=getint();
for(int i=1;i<=m;i++){
int x=getint(),y=getint(),z=getint();
add(x,y,z);deg[x]++;
if(x!=y) add(y,x,z),deg[y]++;
}
for(int i=0;i<=30;i++)
ans+=calc(i)*(1<<i);
printf("%.3lf\n",ans);
return 0;
}