二叉查詢樹的基礎——插入和查詢
上一篇文章我們講了如何通過二分查詢進行搜尋，今天這篇文章，我們介紹二分查詢的高階版，即二叉查詢樹。二叉查詢樹主要解決的問題是查詢表，查詢表的概念和我們瞭解的字典結構非常像，簡單說就是根據一個key值，然後查詢該key值對應的value值。類似這種資料結構，在計算機的演算法中非常常見，有著非常廣泛的應用。今天我們主要介紹二叉查詢樹的三個主題：
一是如何構建一棵二叉查詢樹；
二是在二叉查詢樹中如何進行查詢；
三是檢驗二叉查詢樹的搜尋效率是不是真的高。
好，下面我們進入主題。
構建二叉查詢樹
二叉查詢樹的性質如下：首先它就是一棵普通的二叉樹，但是滿足左子樹中節點的key值都小於根節點的key值，右子樹中節點的key值都大於根節點的key值，同時當把左右子樹分別當做一棵二叉樹的時候，繼續滿足上述條件。二叉查詢樹就是有這麼一個非常好的遞迴性質，其餘的它既不是滿二叉樹，也不是完全二叉樹。
那根據上面的性質，構建二叉樹的過程是什麼樣的呢？請看下圖：
二叉查詢樹的構建過程
對於一棵二叉查詢數，當插入一個節點的時候，主要過程如下：
1）和當前節點的key值進行比較；
2）如果當前節點為NULL，則將該節點插入該位置；
3）如果和當前節點相等（如果是key-value形式，一般是更新value值），則返回；
4）如果比當前節點小，則和該節點的左孩子節點中的key值進行比較，即跳回1）；
5）如果比當前節點大，則和該節點的右孩子節點中的key值進行比較，即跳回1）；
這是一個非常好的遞迴性質，下面我們就以C++語言為基礎，來看看如何實現一個二叉查詢樹。
二叉查詢樹的基礎
如上面程式碼所示，我們定義了一個二叉查詢樹類。在該類中，首先定義了一個節點STRUCT。在該Node中，有相應的key和value值，同時還有左節點和右節點的指標。這基本上就包括了一棵二叉樹的基本構造。其次，在二叉查詢樹中還有一個根節點，該根節點一直指向二叉查詢樹的根。最後，還有一個計數器用於儲存該二叉查詢樹中節點的個數。
好，基本構造介紹完，下面我們就看如何插入一個節點：
二叉查詢樹的插入
插入函式是一個非常經典的遞迴實現。對於遞迴實現，實現邏輯和上面的語言描述是一致的，希望你也能寫這麼一段程式碼。其實遞迴演算法，你只要找好結束條件，那實現起來就非常簡單。
二叉查詢樹的查詢
既然叫二叉查詢樹，那最關鍵的邏輯肯定是如何進行查詢（其實不是最難的）。查詢的過程其實和插入的過程基本上是一致，但查詢只是一個遍歷的過程，能夠找到則返回key對應的value值，如果不能找到，則返回定義好的錯誤狀態（這個錯誤狀態怎麼定義很關鍵，後面我們會細說）。首先我們看一個示意圖：
二叉查詢樹的查詢過程
根據上面的示意圖，我們可以這麼定義演算法：
1）和當前節點的key值進行比較；
2）如果當前節點為NULL，則返回不存在key值的錯誤狀態；
3）如果和當前節點相等（如果是key-value形式，一般是更新value值），則返回value值；
4）如果比當前節點小，則和該節點的左孩子節點中的key值進行比較，即跳回1）；
5）如果比當前節點大，則和該節點的右孩子節點中的key值進行比較，即跳回1）；
那在2）中當比較的節點為NULL時，我們該怎麼返回key值不存在的錯誤狀態呢，這就要從原始碼的實現來說起了。首先，我們還是先看一下具體的原始碼實現：
二叉查詢樹的查詢原始碼
從原始碼中可以看出來，我實現了兩個函式，一個是包含函式，即contain；一個是真正的查詢函式，即search。一般情況這兩個函式是配合使用，先使用contain查詢一下key值是否存在，如果存在則再呼叫search函式返回該key值對應的value值。C++和Java的很多類庫確實是這麼實現的，但是總是有很多菜鳥程式員不按照套路出牌，沒有呼叫contain就呼叫search函式查詢key值對應的value值。這個時候search函式就有可能存在key值無法找到情況，那search函式的返回值設定就比較關鍵了（這就是我們前面說的如何定義查詢失敗時的錯誤狀態）。
我們原始碼的返回值是Value型別的指標。其實還有兩種情況也可以考慮，但都沒有返回Value型別的指標靠譜：
1）返回Node型別的指標。因為Node型別使我們在二叉查詢樹中定義的私有類，所以返回這種型別的指標，顯然破壞了類的封裝性；
2）返回Value型別。這種返回型別最大的問題就是當key值不存在時，value返回什麼值都不合理。
所以，結合目前來看，返回Value型別的指標，基本是最合適的解決方案。
二叉查詢樹的效率
說了這麼多二叉查詢樹的實現演算法，那二叉查詢樹的查詢效率究竟如何呢，下面我們就用一個實驗來驗證一下。這個實驗的目的是：統計《聖經》全文中god這個單詞出現的詞頻。具體的實驗過程是這樣的：
1）首先以單詞作為key，詞頻作為value構造一個節點資料型別；
2）統計《聖經》中的所有單詞，然後將各個單詞所在的Node插入的兩種資料結構中；
3）一種資料結構是二叉查詢樹，另一種資料結構是順序表；
4）分別在這兩個資料結構中，尋找god這個單詞的詞頻，看看哪個資料結構的效率更高。
所謂的順序表，就是將統計好詞頻的Node節點按照順序插入到該表中。也就是說順序表的查詢過程就是簡單粗暴的從頭查到尾。那這兩個資料結構的查詢效率是怎麼樣的呢，請看下圖：
二叉查詢樹的效率
從上面的結果可以看出來，《聖經》中一共有43萬多個單詞，而god這個單詞一共出現了2301次。而查詢的效率可以說是天壤之別。二叉查詢樹的查詢時間是1秒多一點，而順序表則是用了接近100秒，相差了兩個數量級。可見，如此簡單的一個演算法，不同的資料結構效率卻差如此之多。而且說實話《聖經》中單詞的資料量可不算大，如果資料量再大一些，相差的效率只會更大。
另外，對於順序表以及整個比較過程的實現原始碼，希望你能夠自己實現一下（實現過程有一定難度，但沒有你想的那麼難）。我是徐建航， 這是我寫的第71篇文章，歡迎你加入007社群，七天寫一篇，一起寫七年，七年之後一起去南極。
