[P3175][HAOI2015]按位或
摘要：
某金牌爺給我們講了講多項式相關的題目，這是第一道。
本題我們發現一般的期望DP難以優化，但是我們可以基於下面這個式子進行計算：
ans=\sum_{i=0}^{\infty}
(第i輪未結束的概率)
令cnt(x)
表示x的二進...
某金牌爺給我們講了講多項式相關的題目，這是第一道。
本題我們發現一般的期望DP難以優化，但是我們可以基於下面這個式子進行計算：
ans=\sum_{i=0}^{\infty} (第i輪未結束的概率)
令cnt(x) 表示x的二進位制中1的個數。
我們可以來容斥一波。列舉每一個未結束的狀態，然後讓其他位置隨便取，再計算對答案的貢獻，可以得到下面這個式子：
ans=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{2^n-2} (\sum_{j\subseteq i}p_j)^k(-1)^{n-cnt(i)+1}
=\sum_{i=0}^{2^n-2}(-1)^{n-cnt(i)+1}\sum_{k=0}^{\infty}(\sum_{j\subseteq i}p_j)^k
=\sum_{i=0}^{2^n-2}(-1)^{n-cnt(i)+1}\frac{1}{1-\sum_{j\subseteq i}p_j}
我們只需要用FWT計算出對於所有的：
f(i)=\sum_{j\subseteq i}
那麼就可以直接計算答案了。
程式碼巨短：
\#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N=1<<20|5;
double p[MAX_N];
int n,cnt[MAX_N];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<1<<n;++i) scanf("%lf",&p[i]);
for(int step=0;step<n;++step)
for(int i=0;i<1<<n;++i)
if(i&1<<step)
p[i]+=p[i^1<<step];
for(int i=0;i<1<<n-1;++i)
if(fabs(p[i]-1)<=1e-8){
puts("INF");
return 0;
}
cnt[0]=0;
double ans=0;
for(int i=0;i<(1<<n)-1;++i){
if(i!=0) cnt[i]=cnt[i^(i&-i)]+1;
if((n-cnt[i])&1)
ans+=1/(1-p[i]);
else
ans-=1/(1-p[i]);
}
printf("%.8lf",ans);
return 0;
}