Python尋找兩個有序陣列的中位數

摘要： Python尋找兩個有序陣列的中位數 審題： 找出意味著這是一個查詢演算法題 演算法複雜度log級別，就是提示你是二分查詢 二分查詢實現一般為遞迴（1）遞迴包括遞迴體（2）終止條件 思路： 定理： 有...

Python尋找兩個有序陣列的中位數

審題：

1. 找出意味著這是一個查詢演算法題
2. 演算法複雜度log級別，就是提示你是二分查詢
3. 二分查詢實現一般為遞迴
   （1）遞迴包括遞迴體
   （2）終止條件

思路：

定理：

1. 有序陣列中有一半的元素小於等於陣列的中位數，有一半的元素大於等於中位數（如果陣列中元素個數是奇數，那麼這裡的一半並不是嚴格意義的1/2）
2. 如果我們去掉其中一個數組比中位數小的k個數，再去掉另一個數組中比中位數大的k個數，得到的合併子陣列的中位數和原來的中位數相同。
   eg：[1,2,3],[1,2,3] => [1,1,2,2,3,3]
   根據定理去除元素[2,3],[1,2] => [1,2,2,3]中位數沒變。我用了特殊的例子解釋，你可以自行換一個試一試。如果兩個的陣列長度不一樣的時候，不能去掉各自的一半，要去掉相同的個數，下面會細說

解題思路：

假設兩個陣列的中位數分別是a[m1],b[m2]

1. if a[m1] == b[m2] ，那麼剛好有一半的元素小於a[m1],那麼a[m1]就是要找的中位數。參考上面的列子
2. if a[m1] < b[m2]，根據定理1可知，這個中位數只可能出現在a[n1/2 ~ n1-1]或者b[0 ~ n2/2].也就是說合並這兩個陣列的中位數和原來的數組合並的陣列的中位數是一樣的。 根據定理2可知：
   1.陣列長度一樣的時候，去除掉一半是合理的。
   2.陣列長度不一樣，這麼做中位數可能發生變化。解決方案就是去除掉相同個數的元素。why？假設n1 < n2, 兩個陣列就去掉n1/2個元素。那就不在是上面的範圍（a[n1/2 ~ n1-1]或者b[0 ~ n2/2]），而是a[n1/2 ~ n1-1]或者b[0 ~ (-n1/2+n2-1)].
   結論就是：只能刪除a的n1/2(向下取整)
3. if a[m1] > b[m2],和上面分析類似，中位數只能出現在a的前半段或者b的後半段。也就是說a[0 ~ n1/2]和b[n1/2 ~ n2-1]的中位數和原來的中位數相同。

參考： ofollow,noindex">LeetCode參考答案

class Solution:
def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
"""
:type nums1: List[int]
:type nums2: List[int]
:rtype: float
"""
m, n = len(nums1), len(nums2)
if m > n:
nums1, nums2, m, n = nums2, nums1, n, m
if n == 0:
raise ValueError

imin, imax, half_len = 0, m, (m + n + 1) // 2
while imin <= imax:
i = (imin + imax) // 2
j = half_len - i
if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]:
# i is too small, must increase it
imin = i + 1
elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
# i is too big, must decrease it
imax = i - 1
else:
# i is perfect

if i == 0: max_of_left = nums2[j-1]
elif j == 0: max_of_left = nums1[i-1]
else: max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])

if (m + n) % 2 == 1:
return max_of_left

if i == m: min_of_right = nums2[j]
elif j == n: min_of_right = nums1[i]
else: min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])

return (max_of_left + min_of_right) / 2.0