線性代數 Cheat Sheet 5-3：對角化
如果一個方陣 $A$ 相似於對角陣，即存在可逆矩陣 $P$ 和對角矩陣 $D$，有 $A = PDP^{-1}$，則稱 $A$可對角化 。
定理 5（對角化定理）$n \times n$ 矩陣 $A$ 可對角化的充分必要條件時 $A$ 有 $n$ 個線性無關的特徵向量。事實上，$A = PDP^{-1}$，$D$ 為對角矩陣的充分必要條件是 $P$ 的列向量是 $A$ 的 $n$ 個線性無關的特徵向量。此時，$D$ 的主對角線上的元素分別是 $A$ 的對應於 $P$ 中特徵向量的特徵值。
換句話說，$A$ 可對角化的充分必要條件時有足夠的特徵向量形成 $\mathbb{R}^n$ 的基，我們稱這樣的基為特徵向量基 。
若 $A = PDP^{-1}$，其中 $P$ 為可逆矩陣，$D$ 為對角矩陣，那麼 $A^k$ 的計算也很簡單：
\begin{equation}
A^k = (PDP^{-1})^k = PDP^{-1} PDP^{-1} \cdots PDP^{-1} = PD^kP^{-1}
\end{equation}
Contents
- 2. 特徵值不都相異的矩陣
1. 矩陣的對角化
對角化可分為 4 步來完成：
- 求出 $A$ 的特徵值。
- 求出 $A$ 的 $n$ 個線性無關的特徵向量。
- 用第 2 步得到的向量構造矩陣 $P$。
- 用對應的特徵值構造矩陣 $D$。
定理 6有 $n$ 個相異特徵值的 $n \times n$ 矩陣可對角化。
不過，$n \times n$ 矩陣並不是必須有 $n$ 個相異的特徵值才可對角化。
2. 特徵值不都相異的矩陣
如果 $n \times n$ 矩陣 $A$ 有 $n$ 個相異的特徵值及相應的特徵向量 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_n$，若記 $P = \begin{bmatrix} \boldsymbol v_1 & \cdots & \boldsymbol v_n\end{bmatrix}$，那麼由定理 2，$P$ 的列是線性無關的，自然 $P$ 是可逆的。當 $A$ 可對角化，但 $A$ 相異的特徵值的個數少於 $n$ 時，我們仍可以用以下定理給出的方法來構造可逆矩陣 $P$。
定理 7設 $A$ 是 $n \times n$ 矩陣，其相異的特徵值是 $\lambda_1, \cdots, \lambda_p$。
a. 對於 $1 \leq k \leq p$，$\lambda_k$ 的特徵空間的維數小於或等於 $\lambda_k$ 的代數重數。
b. 矩陣 $A$ 可對角化的充分必要條件是所有不同特徵空間的維數之和為 $n$。即 (i) 特徵多項式可以完全分解為線性因子，(ii) 每個 $\lambda_k$ 的特徵空間的維數等於 $\lambda_k$ 的代數重數。
c. 若 $A$ 可對角化，$\mathcal{B}_k$ 是對應於 $\lambda_k$ 的特徵空間的基，則集合 $\mathcal{B}_1, \cdots, \mathcal{B}_k$ 中所有向量的集合是 $\mathbb{R}^n$ 的特徵向量基。