數學倒底有沒有絕對的嚴格性和形式化？

我對數學的理解只停留在大學裡的高等代數和微積分，而且畢業後的這 8 年也已經遺忘得差不多了。最近在研究演算法，又不得不拾遺和學習一些數學知識。今天這篇文章，希望和大家討論一個問題：數學到底是否具有絕對的嚴格性和形式化？恕我愚鈍，這個問題讓我有點懵了。

之前我只是想了解一下圖靈機，結果在查資料的時候偶然知道了數學的三次危機，發些這些數學歷史還滿有趣的，對理解圖靈機也有幫助，然後就把它寫到文章 《演算法02 - 從羅素悖論到圖靈機》 中去了。

在文章中講“哥德爾不完備性定理”時，有一段這樣的描述：

哥德爾不完備性定理的證明結束了關於數學基礎的爭論，宣告了數學不是絕對嚴格性的，把數學徹底形式化這種願望是不可能實現的，不存在這樣一個完美的數學系統。

說實話，在寫這篇文章此之前，我一直認為數學是具有絕對的嚴格性的。但在我查關於數學的三次危機歷史的時候，知道了哥德爾不完備性定理，才認為數學不是絕對的嚴格性和形式化的。

文章釋出後有位部落格園園友[窗戶]在文章留言，引發了我的重新思考，原文如下：

哥德巴赫猜想的簡稱應該是 1+1，不是 1+1=2，那是以訛傳訛的說法。再者，至今沒有人證明哥猜是不可判定命題。誰說數學不是徹底嚴格的?誰說數學不是徹底形式化的?絕對的嚴格，形式化，本來就是數學的特徵，和系統完備性沒什麼關係。如果非得說完備的形式系統才是完美的，那其實這樣的形式系統也是有的啊，比如一階邏輯就是，只是小了那麼一點而已。

必須得說，園友[窗戶]在數學方面的理解和學習應該是比較深入的，至少是比我厲害很多的。在看到[窗戶]的評論時，我都不知道“一階邏輯”是什麼。另外，我還看了下園友[窗戶]的部落格園，分享的都是很有深度的文章，他是一個數理邏輯非常強的人。

這使我我不禁又開始懷疑起自己的理解：目前為止，數學到底是否具有絕對的嚴格性和形式化？

帶著疑惑，我又向園友[窗戶]提了一問：

數學要在我們已知的定理和概念的基礎上才能是絕對的嚴格和形式化吧？否則，你怎麼解答“集合 S 由一切不屬於自身的元素組成，那麼 S 是否屬於 S 呢？”這個問題呢？

然後園友[窗戶]回覆了我：

悖論的原因，在於形式化過程中公理設定的問題，建立的公理存在矛盾才會導致悖論，這樣的“系統"是不相容的,從而我們並不認可。另外，不可判定，哪是什麼到現在為止沒人解決。簡直很扯啊。不可判定是命題自身的屬性，跟人能不能解決沒關係。呵呵，假如有天有人把哥猜解決了又怎麼辦？

我就更疑惑了，既然“不可判定是命題自身的屬性”，那反而不就更說明了數學的不嚴格嗎。思考了一段時間後，我覺得可能問題出在我和園友[窗戶]理解的出發點不同上面，但不知道誰是對的。然後我就回復了我的理解：

我覺得我和你的理解，前置條件是不一樣的。你的理解是數學是在已知的定理和概念的基礎上建立的，這樣自然是具有嚴格性的，因為每一個命題都是人類從已知的定理或概念嚴格推匯出來的。但也正如你所說，“不可判定”是命題自身的屬性，用人類已知的定理並不能證明所有的命題是真或是偽。如果能的話，那數學才真的是具有了絕對的嚴格性（這是我的理解）。所以後來人們才會引入“計算模型”，用來區分哪些命題是可證的，哪些命題是不可證的。假如有天有人把哥猜解決了又怎麼辦？那說明數學離絕對的嚴格性又近了一步唄。

完了我又繼續補充了一句：

在人們的信念中，數學是應該具有絕對的嚴格性和形式化的，還在一直在探索中。但目前數學從上到下還沒有實現成為一個完整的體系，還沒有絕對的嚴格性和形式化。

幾經來回思考，站在我理解的出發點，我雖然說服了自己，但心中還是沒有底，可能我理解的出發點就錯了。不是有這麼一句話麼，人最可怕的就是不知道自己不知道。

真切地希望有人能幫助解答這個問題，不甚感激。

非常感謝部落格園園友[窗戶]的熱心討論。

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昨天在我寫完本文的以上內容後，並已在公眾號釋出，截止昨夜，園友[窗戶]再次回覆了我，內容是這樣的：

看了你的論述，我忍不住還是回來論述幾句。你似乎要把數學代入一種哲學的範疇，一切變得模稜兩可。已知的定理和概念指的是什麼?不知道你明白不明白定理和公理的區別，我猜測你的意思可能是指公理和已經從公理演繹出的定理。描述模稜兩可的原因，我想是因為你並未嚴格意義上受過數學學習，那麼你對於數學的理解我也是可以理解的。計算模型呢，你要真說是因為這個，我也不能算你錯，因為計算和演繹本質上算是一回事。遞迴論之所以是數理邏輯中的學科，也正是因為計算和演繹本質相同。完備性和嚴格性(換成相容性我覺得可能更合適)並不是一回事，嚴格的意思在於無歧義。從這一點來說，你的理解是有偏差的。

“嚴格的意思在於無歧義”，我覺得這一點說得很對，因此我也能理解數學是絕對嚴格性的說法。但我依然還是認為數學目前是沒有絕對形式化的，否則羅素悖論在集合論的範疇確實是解釋不通的。你們認為呢？