找零問題與動態規劃

摘要： 今天巖巖丟擲了一道 code war 上的題目，大意如下： 一個函式接收兩個引數，第一個引數是數字，第二個引數是數字陣列，求數組裡的數字加起來等於第一個引數的所有情況，可以無限次使用數組裡的數字。 譬如 5, [1, 2, 5]，總共有 ...

今天巖巖丟擲了一道 code war 上的題目，大意如下：

後來我發現在 leet code 也有類似的題，是個找零問題，就是不同面值的硬幣組合成一個數有多少種情況。還挺有意思的，我就做了一下，用了遞迴：

const change = function (sum, arr) {
const nums = arr.sort((a, b) => a - b);
return add(sum, arr);
};

const add = function (sum, nums) {
const min = nums[0];
if (sum === 0 || sum === min) return 1;

let res = 0;
if (nums.includes(sum)) res += 1;

for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
const last = sum - nums[i];
if (last >= nums[i]) res += add(last, nums.slice(i));
}
return res;
}

在 code war 上是成功提交了，但在 leet code 上卻超時了，效能太差了。然後巖巖在 code war 的答案裡看到了這樣一段程式碼：

const countChange = (m, c) => {
const a = [1].concat(Array(m).fill(0));
for (let i = 0, l = c.length; i < l; i++) 
for (let x = c[i], j = x; j <= m; j++) 
a[j] += a[j - x];
return a[m];
}

看得我倆十分懵逼，苦思半天還是懵逼。於是我上網搜到了相同解法的 C++ 版本:

using namespace std;

class Solution 
{
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) 
{
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int coin : coins) 
{
for (int i = coin; i <= amount; ++i) 
{
dp[i] += dp[i - coin];
}
}
return dp[amount];
}
};

ofollow,noindex">文章 說是用的動態規劃（知道了這點很關鍵），雖然沒具體解釋，但這個版本的命名比上面那個 JS 版本實在是好懂太多了，dp 就是 dynamic programming 嘛，所以已經可以勉強推導他的思路：

dp 是一個長為 amount + 1 的表，依次用來記錄組合成 0、1、2、3、、、amount 各有多少種情況，dp[0] 初始為 1，其他都初始為 0。

接下來迴圈硬幣值，記錄從當前硬幣值到 amount 的所有組合情況。狀態轉移方程為：dp[i] += dp[i - coin]。什麼意思呢？假設我們求 [1, 2, 5] 這三個面值組成 5 的情況，現在我先拿出一個 2，那我是不是隻要再有一個 3 就可以得到 5 了，那我只要計算有多少種組合成 3 的情況就好了，即當 coin = 2 的時候，dp[5]_new = dp[5]_old + dp[3]，以此類推。

for (int coin : coins) 
{
for (int i = coin; i <= amount; ++i) 
{
dp[i] += dp[i - coin];
}
}

以上這段程式碼的意思就是先計算我拿出 1 的時候，組合成 12345 的情況數，再計算當我拿出 2 的時候，組合成 2345 的情況數（加上拿出 1 時候的情況數），再計算拿出 5 的時候，組合成 5 的情況數（加上拿出 1 和拿出 2 時候的情況數），最後得出的 dp[5] 就是我們想要的結果。你可能會問我們要的是 dp[5]，中間的 dp[1]dp[2]...dp[4] 有什麼用，其實這就是動態規劃的精髓，會把子問題的解記錄（快取）下來，因為這些子問題會在計算過程中多次用到，就不需要每次都計算了。

上述解法的大體思路其實和下面這個樸素遞迴是相似的，都是把問題分解為子問題進行求解，動態規劃強就強在會快取子問題的解避免重複計算從而提高效率。

const countChange = function(money, coins) {
if (money < 0 || coins.length === 0)
return 0
else if (money === 0)
return 1
else
return countChange(money - coins[0], coins) + countChange(money, coins.slice(1))
}

以後當你碰到一個問題，它可以分解為多個子問題，並且子問題有重疊時，就用動態規劃吧。

啊，我真是太菜了……一個動態規劃的題搞了半天……