令人震撼的科幻小說——黎曼的貓
阿新 • • 發佈：2019-01-09
飯後，小菲在收拾碗筷，兒子去做作業去了。我把小宇拉到我樓上的書房，請他給我講講黎曼假設。
“請給我筆和紙，”坐下後，小宇說。我拿給他紙筆。小宇在紙上寫下一個數學式子：
1+1/2+1/3+...+1/n+...
“知道這是什麼嗎？”小宇問。
“哦，這個我知道，這個無窮項的求和不是調和級數嗎？”我說。這個我大學時就在微積分裡學到過。
“是啊，”小宇說，“這個級數是發散的，就是說，它的和是無窮大。”
“嗯，”我說。
“現在我把它稍微變一下，把每個分母變成s次方，”小宇接著說。他在這個式子下面寫到：
1+1/2^s+1/3^s+...+1/n^s+...
“這個級數嘛……”我說，試圖回憶多年前在大學裡學的數學。
小宇看了我一眼說：“如果s變動的話，這個級數是s的函式，黎曼用希臘字母ζ(s)（小宇將這個寫在紙上）表示這個函式，所以現在我們叫它黎曼ζ函式。這個級數如果s是個比1大的實數的話是收斂的，也就是它的和是一個有限的數。而當s小於或者等於1的時候，這個級數是發散的，也就是說，ζ(s)是無窮大。比如說當s等於2的時候，你知道它的和是多少嗎？”
我想了想，2比1大，所以ζ(2)是一個有限的數。“不知道。是多少？”
“π的平方除以6！”
“π？你是說圓周率π？”
“是啊。”
“哇！這個和怎麼會跟π拉上關係的？”
“這就是數學的奇妙之處了。這個結果是18世紀瑞士大數學家尤拉首先發現的。算是尤拉的一大成果。”
“那麼當s等於3的時候和是多少呢？”我問。
“好問題！答案是：沒有人知道。我們現在只知道這是一個無理數。”
“哦，黎曼猜想是關於這個級數的和的？”
“呵呵，”小宇笑道，“不是不是，黎曼猜想比這個複雜得多。黎曼考慮這個級數的時候，想像如果允許這個冪s取複數值的會發生什麼事。”
複數我很熟悉。我們物理裡面經常用到。不過複數的冪我並不太熟悉。小宇在紙上寫到：
s = x + iy
他解釋道：“我們知道，每個複數可以寫成一個實數x加上虛數單位i，也就是負1的平方根，乘以另外一個實數y。 如果s是複數的話，一個實數n的s次方的值的大小實際上是由s的實部x來決定的。”他指著上面那個級數說，“所以，這個黎曼ζ函式當x比1大的時候也是一個有限的數，只不過，這時候它的和是個複數。而當x比1小或者等於1的時候它的值是無窮大。”
他接著在紙上畫了一個直角座標系，標上了x軸和y軸。他邊寫邊說：“這個你應該知道了，每個複數s=x+iy都可以用平面上的點(x,y)來表示。根據我剛才的解釋，這個黎曼ζ函式只有在x大於1的時候才有定義。”他在那個座標系裡畫了一條垂直的虛線，穿過x軸上對應於x=1的那個點，將平面分成了兩半。他接著說：“也就是說，這個ζ函式在這條線的右邊是有定義的，而在這條線的左邊，包括這條線上，都是沒有定義的。”
我看著紙，儘量試圖跟上他的解釋。“那麼，這個ζ函式是個連續函式？”
小宇讚許地說：“是啊！不光是連續的，而且在這條線的右半邊平面上還是解析的。”
解析函式我們物理上也常用，意思就是這個ζ函式在x=1這條線的右半邊平面上的每一個點上都有導數。
小宇指著那條線的左半邊說：“雖然這個ζ函式在這半邊沒有定義，不過黎曼用了一個複變函式論裡面很基本的技巧，將這個ζ函式延拓成為一個在整個平面上都解析的函式。具體的說，他用一個積分公式定義了一個在整個平面上都解析的函式，這個函式在這條線的右半邊跟上面這個級數重合。這個經過解析延拓的函式，實際上才是真正的黎曼ζ函式。”
“哦，”這裡我有點似懂非懂，“黎曼為什麼要這麼作呢？”
小宇笑了笑：“這個就牽扯到數論的問題了。黎曼研究這個ζ函式的目的是要用它來研究素數的分佈的。”
我知道，素數就是那些除了自己和1之外，沒有別的因數的，比1大的自然數。比如2，3，5，7，11，13， 17等等。
“這個函式怎麼會跟素數有關係呢？”
“這個實際上又得從尤拉說起了。素數可以說是數學裡面構造所有的數的原子。不過，素數在自然數裡面的分佈看起來是毫無規律的。幾乎任何有關素數的問題都是數學上的難題。比如你知道的哥德巴赫猜想，說的是每個大於2的偶數都可以寫成兩個素數的和。可是這個命題到今天還是沒有人知道對不對。咱們的陳景潤證明的是每個偶數可以寫成一個素數跟兩個素數的乘積的和，離徹底證明哥德巴赫猜想還有一步。可是這一步卻難得像登天一樣。古希臘數學家歐幾里德證明了素數有無窮多個，他後面的兩千多年裡，這幾乎是人們所知道的唯一的關於素數的一般性質。尤拉在玩弄ζ函式時發現，當s是大於1的實數的時候，ζ函式可以寫成一個跟素數有關的無窮乘積。他得到這個簡單的等式後，立即看出，為了使這個等式成立，素數的個數必須是無窮。於是，尤拉利用ζ函式給出了歐幾里德的無窮素數定理的一個新的證明。利用這個等式，尤拉還證明了對於所有的素數的倒數求和，得到的是無窮大。這樣，在歐幾里德之後兩千多年，ζ函式終於使得人們對於素數的認識進了一步。
“由此，人們知道這個ζ函式實際上跟素數有密切的聯絡。不過，只到一百多年後，因為黎曼的工作，人們才最終認識到ζ函式對於素數研究的至關重要性。”
“因為黎曼引進了復的冪？”我問。
“正是！黎曼的思路是這樣的：既然尤拉從ζ函式的實數冪就能得出有關素數的新的性質，而所有的實數只不過是在一條一維的直線上。那麼，如果我把這冪s變為複數會得到什麼結果呢？所有的複數可是充滿了一張二維的平面啊！這多出的一個維度肯定會告訴我們更多的關於素數的資訊吧？於是，黎曼沿著這個思路拼命地工作了幾天，寫了一篇短短的只有八頁的論文， 標題是： 論小於給定數值的素數個數。不過，這篇短文卻成為了一篇劃時代的論文。在這篇文章裡，黎曼建立起ζ函式的零點和素數分佈的密切聯絡。”
“零點？”我一時沒有反應過來。
“就是那些使得ζ函式的值等於零的那些點。對於ζ函式來說，有一些零點是顯然的，這些零點是-2，-4，-6，……， -2n，……，等等。這些零點叫作平凡的零點。除了這些平凡的零點以外，黎曼還發現，其它的零點都是複數，而且全部落在平面上從x=0到x=1這兩條垂直的直線之間這一個帶狀區域。所以這條帶狀區域被稱作臨界帶。正是這些非平凡的零點的分佈直接決定了素數的分佈。黎曼根據自己的計算，作出了一個十分大膽的猜測：他認為ζ函式的所有非平凡零點全部落在x=1/2這一條直線上！這就是困擾了數學家們一百多年的黎曼假設。這條垂直直線x=1/2就叫作臨界線。”
“嗯。”我感到小宇的話對我的作用就像黎曼的ζ函式對於素數的作用一樣，一下子提供了太多的資訊。我恐怕得花點時間才能好好消化。我問：“你能不能稍微給我講講黎曼假設跟素數之間到底有什麼關係呢？”
小宇看了我一眼說：“你到底還是個訓練有素科學家，問的問題都很到點啊。”
我嘿嘿笑了一下：“哥們很會誇獎人啊，看來你這老師當得肯定不錯。”
小宇也笑了：“當然，這麼多年的數學老師也不是白當的。是這樣的，前面我講到，尤拉建立了一個實的ζ函式與素數之間關係的簡單的等式。黎曼遵循尤拉的思路，也在他的復的ζ函式與素數的分佈之間建立了一個等式。不過，他的等式比尤拉的等式要複雜得多，其中有一項，就牽涉到ζ函式的非平凡零點。如果能證明所有的非平凡零點都在x=1/2這條臨界線上的話，那麼從這個等式就可以徹底搞清楚素數的分佈規律了。”
“哦，原來如此。”我隨口應到。
這時，小菲端了些西瓜上來，對小宇說，“小宇，吃點西瓜吧。你在這裡給成遠講課，應該收他的學費啦。”
小宇笑著說：“哈哈，我這是在付你的飯錢呢。”
小菲也笑了：“成遠，人家小宇剛剛到，時差還沒倒過來呢。你不要太累著人家了。”
小宇說：“沒事。我在飛機上猛睡了十幾個小時呢。”
我說：“放心吧，小宇也不是泥巴做的。”
小菲瞪了我一眼，下樓去了。
“剛才講到哪裡了？”我問。
“講到黎曼假設跟素數分佈的關係。”小宇拿了一塊西瓜，邊吃邊說，“要再細談它們之間的關係，恐怕還得從另外一個巨牛的德國數學家高斯談起。”
“高斯？數學王子啊。好像每個大數學家都跟這個問題有關係啦？”
“要不怎麼是數學裡的核心問題呢？是這樣的。你大概知道，高斯從小就是個數學天才。15歲的時候，他開始對素數的分佈感興趣。他花了不少時間去數小於某個數的素數的個數。他發現，小於10的素數有4個，2，3，5，7。小於100的素數有25個；小於1000的素數有168個；小於10000的素數有1229個，等等。他想通過這種統計找出素數在一定範圍內分佈的的規律。他考慮了這個問題：當你一個數一個數去數數的話，平均數多少個數能遇到一個素數。比如，在1到10之間有4個素數，用10比上4得到2.5，所以在1到10之間你平均每數2.5個數就遇到一個素數。如此類推，100之內的平均數4個數遇到一個素數，在1000之內平均數6個數，在10000之內的平均數8.1個數，高斯大概統計到1億了吧？15歲的高斯已經很熟悉對數了。他發現在1到某個數N之間平均數多少個數會遇到一個素數跟自然對數ln N很接近。於是，他大膽地作出了個猜測：當N越來越大的時候，在1到N之間平均每數ln N個數會遇到一個素數。”
這次我聽得很明白。我說：“這個發現看起來太簡單了。好像我自己也可以發現嘛？”
小宇說：“是啊。不過，問題是，成功總是留給有心人的。事實上，高斯當時並沒有立即公佈他的發現。而就在高斯的發現幾年後，就有一位法國的數學家，勒讓德，也作出了同樣的發現。”
“這就好像牛頓和萊布尼茨同時發現微積分一樣。”
“是啊，這種事情在科學上發生得太多了。”小宇說。“我們接著說高斯的發現吧。高斯用π(N)來標記小於N的素數的個數。高斯發現，在N很大的時候，π(N)接近於N除以N的自然對數。”小宇在紙上寫到：
π(N)~N/ln(N)
小宇說：“這就是高斯和勒讓德的發現了。這個猜想九十年後才被兩位數學家各自獨立地證明了。知道他們是怎麼證明的嗎？”
“利用黎曼假設？”我猜到。
“差不多啦。黎曼假設還沒有人能證得出來。不過他們證明了一個黎曼假設的很弱的形式。他們證明了，黎曼ζ函式在x=1這條垂直直線上沒有零點。利用這個結果，他們證明了高斯和拉格朗日的猜想。這個有名的結果現在稱為素數定理。 不過，素數定理只不過是個漸進的結果。如果黎曼假設能夠證明的話，就能給出這個素數定理右邊這一項的精確誤差。”
我沉默了一下說：“那麼這個黎曼假設，有什麼證據說它是對的呢？”
“證據有很多啦。”小宇說。“最直接的證據就是計算了。黎曼ζ函式的非平凡零點有無數多個。但是要具體算出這些零點是非常困難的。不過藉助計算機，有數學家已經算出了十兆多個非平凡零點，全部都落在x=1/2這條直線上！”
“哇！驗證了這麼多！”我驚歎到。“那麼黎曼假設肯定會是正確了的吧？”
“沒有人知道，”小宇說。“即使是驗證了十兆多個零點，那也不能排除在十兆個之後，會有某個零點不在這條線上的可能。而一旦發現有一個零點不在這條線上，那麼黎曼假設就被推翻了。那恐怕將會是一場數學界的大地震。實際上，哪位驗算十兆多零點的數學家的初衷就是想找到一個不在x=1/2這條臨界線上的零點的。當然，他沒能成功。”
我回味著小宇的話，感嘆到：“數學真是奇妙啊。你這麼多年就是做的這個？”
“是啊，”小宇說。
“我可知道你的本事。以你的水平，作了這麼多年，肯定應該作出了些名堂吧？”
“老實說，我這次來美國，也就是為了這個。”
“哦？有進展了？”
小宇湊近我，壓低了點聲音說：“你不要給別人講。我思考這個問題十多年了。我想我終於找到了證明黎曼假設的正確途徑。”他擡起身，接著說：“只不過，國內雜事太多，我一直靜不下心來。現在，我好不容易申請到了一次公費出國的機會，想在美國安安靜靜地作一段研究，攻一攻黎曼假設。”
“好啊，我相信你能拿到那一百萬美元獎金的。等你出了名，哥們我也可以沾點光。”
“希望如此啊，”小宇看了看錶說：“哎呀，時間不早啦，我得回去了。”我們站了起來，小宇跟我家人告別後，我送他回了他的公寓。