多變數高斯分佈之間的KL散度（KL Divergence）

單變數高斯分佈的概率密度函式如下（均值：u，方差：σ）：

N(x|u,σ)=1(2πσ2)1/2exp{−12σ2(x−u)2}
多變數高斯分佈（假設n維）的概率密度函式如下（均值：u，協方差矩陣：Σ）： N(x|u,Σ)=1(2π)n/2|Σ|1/2exp{−12(x−u)TΣ−1(x−u)}

在公式推導之前，首先介紹一些用到的性質。

矩陣的跡的性質：
（1）tr(αA+βB)=αtr(A)+βtr(B)
（2）tr(A)=tr(AT)
（3）tr(AB)=tr(BA)
根據性質（3）可以得到性質（4）
（4）tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)
在推導公式過程中，使用到的一個重要的trick

如下：
對於列向量λ，公式λTAλ的結果是一個標量，所以：

λTAλ=tr(λTAλ)=tr(AλλT)
多變數分佈中期望E與協方差Σ的性質：
（1）E[xxT]=Σ+uuT
證明：
Σ=E[(x−u)(x−u)T]=E[xxT−xuT−uxT+uuT]=E[xxT]−uuT−uuT+uuT=E[xxT]−uuT
（2）E(xTAx)=tr(AΣ)+uTAu
證明：
因為xTAx的結果是一個標量，利用前面提到的trick，可得：
E(xTAx)=E[tr(xTAx)]=E[tr(AxxT)]=tr[E(

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