題目背景

“叮鈴鈴鈴”，隨著高考最後一科結考鈴聲的敲響，三年青春時光頓時凝固於此刻。畢業的欣喜怎敵那離別的不舍，憧憬著未來仍毋忘逝去的歌。1000多個日夜的歡笑和淚水，全凝聚在畢業晚會上，相信，這一定是一生最難忘的時刻！

題目描述

彩排了一次，老師不太滿意。當然啦，取每位同學的號數來找最大公約數顯然不太合理。於是老師給每位同學評了一個能力值。於是現在問題變為，從n個學生中挑出k個人使得他們的默契程度（即能力值的最大公約數）最大。但因為節目太多了，而且每個節目需要的人數又不知道。老師想要知道所有情況下能達到的最大默契程度是多少。這下子更麻煩了，還是交給你吧~

PS：一個數的最大公約數即本身。

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輸入格式：

第一行一個正整數n。

第二行為n個空格隔開的正整數，表示每個學生的能力值。

輸出格式：

總共n行，第i行為k=i情況下的最大默契程度。

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4
1 2 3 4

4
2
1
1

說明

【題目來源】

lzn原創

【數據範圍】

記輸入數據中能力值的最大值為inf。

對於20%的數據，n<=5，inf<=1000

對於另30%的數據，n<=100，inf<=10

對於100%的數據，n<=10000，inf<=1e6

題解

一開始很容易想到枚舉n個數取k個的所有組合，然後分別用輾轉相除法求最大公約數，但是復雜度明顯不符合要求，於是必須換一種思路。

我們想到k個數的公約數含義就是這k個數均含有某個因數

如果我們把所有數的因數全部求出來，發現有k個數均含有某個因數，那麽這個數必然是這k個數的公約數

其中找出最大的就是它們的最大公約數。但是要如何高效的做到這點呢？

考慮到對於k=1，2……，n都要求出，我們可以這麽做：

• 1、 求出每個因數出現的次數。

• 2、 對於每個次數記錄最大的因數。

• 3、記錄能力最大值之後用while語句將其不斷減小（因為k=1時顯然最大公約數為最大能力值，之後的公約數顯然小於等於前一個數）

算法復雜度o(n*sqrt(inf))。

代碼如下：

#include<cstdio>
#include
 
<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

int n,ma,a[10010],b[1000010];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        ma=max(ma,a[i]);
        int k=sqrt(a[i]);
        for(int j=1;j<=k;++j)
            if(a[i]%j==0)
            {
                b[j]++;
                if(j*j!=a[i])b[a[i]/j]++;
            }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(b[ma]<i)ma--;
        printf("%d\n",ma);
    }
}

【數論】洛谷P1414又是畢業季II