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題目描述

我的室友最近喜歡上了一個可愛的小女生。馬上就要到她的生日了，他決定買一對情侶手 環，一個留給自己，一 個送給她。每個手環上各有 n 個裝飾物，並且每個裝飾物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突 然發現他好像拿錯了一個手環，而且已經沒時間去更換它了！他只能使用一種特殊的方法，將其中一個手環中所有 裝飾物的亮度增加一個相同的自然數 c（即非負整數）。並且由於這個手環是一個圓，可以以任意的角度旋轉它， 但是由於上面 裝飾物的方向是固定的，所以手環不能翻轉。需要在經過亮度改造和旋轉之後，使得兩個手環的差 異值最小。在將兩個手環旋轉且裝飾物對齊了之後，從對齊的某個位置開始逆時針方向對裝飾物編號 1,2,…,n， 其中 n 為每個手環的裝飾物個數，第 1 個手環的 i 號位置裝飾物亮度為 xi，第 2 個手 環的 i 號位置裝飾物 亮度為 yi，兩個手環之間的差異值為(參見輸入輸出樣例和樣例解釋)： \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2麻煩你幫他 計算一下，進行調整（亮度改造和旋轉），使得兩個手環之間的差異值最小， 這個最小值是多少呢？

輸入

輸入數據的第一行有兩個數n, m，代表每條手環的裝飾物的數量為n，每個裝飾物的初始 亮度小於等於m。 接下來兩行，每行各有n個數，分別代表第一條手環和第二條手環上從某個位置開始逆時 針方向上各裝飾物的亮度。 1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m

輸出

輸出一個數，表示兩個手環能產生的最小差異值。 註意在將手環改造之後，裝飾物的亮度 可以大於 m。

樣例輸入

5 6
1 2 3 4 5
6 3 3 4 5

樣例輸出

1

---

題解

FFT

首先，不用枚舉c！

由於要求的是相對關系，所以給第二個手環+c就是給第一個手環-c。

設旋轉後i位置分別為xi和yi，那麽通過上面的式子可以得出c的最優取值與x和y的對應關系無關。

也就是說無論如何旋轉，c的最優值總是固定的(sumy-sumx)/n（四舍五入到整數）

這樣可以預處理出兩個環的具體數值。

剩下的就交給FFT吧，將環倍增，所求即∑(x[i+k]-y[i])^2=∑x[i+k]^2 + ∑y[i]^2 - 2*x[i+k]*y[i]的最小值。

前兩項可以預處理出來，最後一項同 bzoj2194 ，轉化為卷積來求。

註意平方和不是和的平方。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define N 1 << 20
#define pi acos(-1)
using namespace std;
struct data
{
	double x , y;
	data() {x = y = 0;}
	data(double x0 , double y0)  {x = x0 , y = y0;}
	data operator+(const data a)const {return data(x + a.x , y + a.y);}
	data operator-(const data a)const {return data(x - a.x , y - a.y);}
	data operator*(const data a)const {return data(x * a.x - y * a.y , x * a.y + y * a.x);}
}a[N] , b[N];
double sx[N] , sy[N];
void fft(data *a , int n , int flag)
{
	int i , j , k;
	for(i = k = 0 ; i < n ; i ++ )
	{
		if(i > k) swap(a[i] , a[k]);
		for(j = (n >> 1) ; (k ^= j) < j ; j >>= 1);
	}
	for(k = 2 ; k <= n ; k <<= 1)
	{
		data wn(cos(2 * pi * flag / k) , sin(2 * pi * flag / k));
		for(i = 0 ; i < n ; i += k)
		{
			data t , w(1 , 0);
			for(j = i ; j < i + (k >> 1) ; j ++ , w = w * wn)
				t = w * a[j + (k >> 1)] , a[j + (k >> 1)] = a[j] - t , a[j] = a[j] + t;
		}
	}
}
int main()
{
	int n , i , len;
	double c = 0 , ans = 10000000000 , sumx = 0 , sumy = 0;
	scanf("%d%*d" , &n);
	for(i = 0 ; i < n ; i ++ ) scanf("%lf" , &sx[i]) , c -= sx[i];
	for(i = 0 ; i < n ; i ++ ) scanf("%lf" , &sy[i]) , c += sy[i];
	c = round(c / n);
	for(i = 0 ; i < n ; i ++ ) sumx += (sx[i] + c) * (sx[i] + c) , sumy += sy[i] * sy[i];
	for(i = 0 ; i < 2 * n ; i ++ ) a[i].x = sx[i % n] + c;
	for(i = 0 ; i < n ; i ++ ) b[i].x = sy[n - i - 1];
	for(len = 1 ; len < 2 * n ; len <<= 1);
	fft(a , len , 1) , fft(b , len , 1);
	for(i = 0 ; i < len ; i ++ ) a[i] = a[i] * b[i];
	fft(a , len , -1);
	for(i = n - 1 ; i < 2 * n - 1 ; i ++ ) ans = min(ans , sumx + sumy - 2 * round(a[i].x / len));
	printf("%.0lf\n" , ans);
	return 0;
}

【bzoj4827】[Hnoi2017]禮物 FFT