字符串模式匹配KMP算法中的next數組算法及C++實現
一、問題描述：
對於兩個字符串S、T，找到T在S中第一次出現的起始位置，若T未在S中出現，則返回-1。
二、輸入描述：
兩個字符串S、T。
三、輸出描述：
字符串T在S中第一次出現的起始位置，若未出現，則返回-1。
四、輸入例子：
ababaababcb
ababc
五、輸出例子：
5
六、KMP算法解析：
KMP算法分為兩步，第一步是計算next數組，第二步是根據next數組通過較節省的方式回溯來比較兩個字符串。
網絡上不同文章關於next數組的角標含義略有差別，這裏取參考文獻中王紅梅《數據結構(C++版)》的next定義。
設長字符串為S，短字符串為T，next數組的長度與短字符串T的長度一致，next[j]代表使T[0]~T[k-1]=T[j-k]~T[j-1]成立的最大k值。
當T="ababc"時，next=[-1,0,0,1,2]。
通俗的講，next[j]代表了從0往後查k個字母與從j-1往前查k個字母，這k個字母按角標排列，正好完全一樣的最大k值，其作用是減少回溯的距離，從而減少比較次數。
根據《數據結構(C++版)》KMP算法的偽代碼可以用如下偽代碼表述：
1. 在串S和串T中分別設置比較的起始下標i和j; 2. 重復下述操作，直到S或T的所有字符均比較完畢; 2.1 如果S[i]等於T[j]，繼續比較S和T的下一對字符; 2.2 否則將下標j回溯到next[j]的位置，即j = next[j]; 2.3 如果j等於-1，則將下標i和j分別加1，準備下一趟比較;3. 如果T中所有字符均比較完畢，則返回匹配的i-j; 否則返回-1;
KMP算法的C++代碼如下：
1 int KMP(string S, string T) 2 { 3 vector<int> next = getNext(T); 4 int i = 0, j = 0; 5 while (S[i] != ‘\0‘ && T[j] != ‘\0‘) 6 { 7 if (S[i] == T[j]) 8 { 9 ++i; 10 ++j;11 } 12 else 13 { 14 j = next[j]; 15 } 16 if (j == -1) 17 { 18 ++i; 19 ++j; 20 } 21 } 22 if (T[j] == ‘\0‘) 23 return i - j; 24 else 25 return -1; 26 }
書中只給出next數組的定義，算法留給讀者完成，這裏我們將其完成。
根據書中next數組的定義，當T="ababc"時，
j=0時，next[0] = -1;
j=1時，next[1] = 0;
接下來的next數組要進行計算，
j=2時，T[0]≠T[1]，則next[2] = 0;
j=3時，由於之前已經比較過T[0]與T[1]不想等，所以無需比較T[0~1]與T[1~2]（一定不想等），直接比較T[0]=T[2]，則next[3] = 1;
j=4時，由於next[3] = 1可知T[0]=T[2]，所以可以直接比較T[1]=T[3]，可得T[0~1]與T[2~3]，則next[4] = 2;
還有一種情況可以節省計算next的時間，這裏換一個長一點的字符串說明這種情況，當T="ababaababcb"時，
j=4時，我們計算出next[4] = 2（ab=ab）;
j=9時，我們計算出next[9] = 4（abab=abab）;
j=10時，next[9] = 4可知T[0~3]=T[5~8]，直接比較T[9]=‘c‘和T[4]=‘a‘不相等，由next[4]為2可得T[0-1]和T[2-3]重復為已知、由已經判斷到T[9]與T[4]可得T[7-8]和T[2-3]重復為已知，所以可以推斷出T[0-1]與T[7-8]為重復字符，可直接判斷T[9]與T[next[4]]，即T[9]與T[2]，從而省略重復判斷T[0-1]與T[7-8]。
計算next數據的C++代碼如下：
1 vector<int> getNext(string T) 2 { 3 vector<int> next(T.size(), 0); // next矩陣，含義參考王紅梅版《數據結構》p84。 4 next[0] = -1; // next矩陣的第0位為-1 5 int k = 0; // k值 6 for (int j = 2; j < T.size(); ++j) // 從字符串T的第2個字符開始，計算每個字符的next值 7 { 8 while (k > 0 && T[j - 1] != T[k]) 9 k = next[k]; 10 if (T[j - 1] == T[k]) 11 k++; 12 next[j] = k; 13 } 14 return next; // 返回next矩陣 15 }
其中，第8、9行為上述T="ababaababcb"，j=10時出現的情況。第10、11行為類似T[0]=T[2]的比較成功的情況。第12行為類似next[3] = 1的賦值。
七、完整程序
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 #include <string> 4 5 using namespace std; 6 7 vector<int> getNext(string T) 8 { 9 vector<int> next(T.size(), 0); // next矩陣，含義參考王紅梅版《數據結構》p84。 10 next[0] = -1; // next矩陣的第0位為-1 11 int k = 0; // k值 12 for (int j = 2; j < T.size(); ++j) // 從字符串T的第2個字符開始，計算每個字符的next值 13 { 14 while (k > 0 && T[j - 1] != T[k]) 15 k = next[k]; 16 if (T[j - 1] == T[k]) 17 k++; 18 next[j] = k; 19 } 20 return next; // 返回next矩陣 21 } 22 23 int KMP(string S, string T) 24 { 25 vector<int> next = getNext(T); 26 int i = 0, j = 0; 27 while (S[i] != ‘\0‘ && T[j] != ‘\0‘) 28 { 29 if (S[i] == T[j]) 30 { 31 ++i; 32 ++j; 33 } 34 else 35 { 36 j = next[j]; 37 } 38 if (j == -1) 39 { 40 ++i; 41 ++j; 42 } 43 } 44 if (T[j] == ‘\0‘) 45 return i - j; 46 else 47 return -1; 48 } 49 50 int main() 51 { 52 string S = "ababaababcb"; 53 string T = "ababc"; 54 int num = KMP(S, T); 55 cout << num; 56 return 0; 57 }
參考文獻：
[1]王紅梅, 胡明, 王濤. 數據結構(C++版)[M]. 北京：清華大學出版社, 2011：83-85.
[2]牛客網. 串的模式匹配[DB/OL]. https://www.nowcoder.com/practice/084b6cb2ca934d7daad55355b4445f8a?tpId=49&&tqId=29363&rp=1&ru=/activity/oj&qru=/ta/2016test/question-ranking
字符串模式匹配KMP算法中的next數組算法及C++實現