str tar 是否 數學 這就是 cti bsp 存在 amp

矩陣左乘向量的兩種理解

1，矩陣左乘向量可以理解為對向量進行線性變換

探究原理的話，可以理解左乘為對整個空間（基&目標向量）進行線性變換，其中，

• 變換矩陣是基‘在基的坐標的列向量組合
• 目標向量是向量在基中的坐標
• 結果向量是向量’在基下的坐標

就結果來看，實質是利用向量在基下的坐標和基‘在基下的坐標，求出整個空間旋轉到基’位置後向量的新位置（向量‘）在原基下的坐標。

詳細說明如下：

把基畫出來的原因是因為矩陣變換的其實是基。

舉例子來看看，比如旋轉（旋轉矩陣 )：

2.矩陣左乘向量可以理解為單純的對向量進行換基操作

和上面不同的是這個理解中目標向量本身在絕對空間中沒有發生任何變化，僅僅是換了對基：

• 變換矩陣是基‘在基下的坐標的列向量組合
• 目標向量是原向量在基’下的坐標
• 結果向量是原向量在基下的坐標

就結果來看，實質上是利用向量在基‘下的坐標和基’在基下的坐標求出向量在基下的坐標。

換基操作詳解如下：

結論參考：

相似矩陣的實質

行列式的本質

行列式的實質

引用自童哲的回答
1，行列式是針對一個的矩陣而言的。表示一個維空間到維空間的線性變換。那麽什麽是線性變換呢？無非是一個壓縮或拉伸啊。假想原來空間中有一個維的立方體（隨便什麽形狀），其中立方體內的每一個點都經過這個線性變換，變成維空間中的一個新立方體。

2，原來立方體有一個體積，新的立方體也有一個體積。

3，行列式是一個數對不對？這個數其實就是 ，結束了。

就這麽簡單？沒錯，就這麽簡單。



所以說：行列式的本質就是一句話：

行列式就是線性變換的放大率！




理解了行列式的物理意義，很多性質你根本就瞬間理解到忘不了！！！比如這個重要的行列式乘法性質：



道理很簡單，因為放大率是相乘的啊~！



你先進行一個變換，再進行一個變換，放大兩次的放大率，就是式子左邊。
你把“先進行變換，再進行變換”定義作一個新的變換，叫做“”，新變換的放大律就是式子右邊。

然後你要問等式兩邊是否一定相等，我可以明確告訴你：too simple 必須相等。因為其實只是簡單的把事實陳述出來了。這就好像：

“ 你經過股票投資，把1塊錢放大3被變成了3塊錢，然後經過實業投資，把3塊錢中的每一塊錢放大5倍成了5塊錢。請問你總共的投資放大率是多少？”



翻譯成線性代數的表達就是：







這還不夠！我來解鎖新的體驗哈~

上回咱們說到行列式其實就是線性變換的放大率，所以你理解了：


那麽很自然，你很輕松就理解了：


so easy，因為




同時你也必須很快能理解了

“矩陣可逆” 完全等價於 “”

因為再自然不過了啊，試想是什麽意思呢？不就是線性變換把之前說的維立方體給拍扁了啊？！這就是《三體》中的”降維打擊”有木有！！！如來神掌有木有！！！直接把3維立方體 piaji一聲~一掌拍成2維的紙片，紙片體積多少呢？當然是 0 啦！

請註意我們這裏說的體積都是針對維空間而言的， 就表示新的立方體在 維空間體積為0，但是可能在維還是有體積的，只是在 維空間的標準下為0而已。好比一張紙片，“2維體積”也就是面積可以不為0，但是“3維體積”是妥妥的0。

所以凡是的矩陣都是耍流氓，因為這樣的變換以後就再也回不去了，降維打擊是致命性的。這樣的矩陣必然是沒有逆矩陣 的。這就是物理意義和圖象思維對理解數學概念的重要性。



當然要證明也是小菜一碟輕而易舉的：

由

可知

這怎麽可能啊~？ 了，那麽等於多少呢？毫無辦法，只能不存在。一個矩陣怎麽可能行列式不存在呢？只能是因為 不存在。所以自然不可逆。

『理論』科學計算專項_線性代數幾何原理剖析