bzoj desc 變換 gcd ide sca oid tor 簡單圖

Description

Antonio 最近對有機化學比較感興趣，他想請你幫助他快速計算出某種烴類的同分異 構體的數目。 為了表述方便，我們作出如下定義： 環烷烴： 具有n 個碳原子的環烷烴可以表示成一張具有n 個頂點n 條邊的無向連通 簡單圖(基環+外向樹)。每個頂點的度數不超過 4。 M-環烷烴：至多有m 個頂點在環上的環烷烴。（註意環上至少有 3 個頂點，因為 任意兩個頂點之間至多只能有1 條邊）。 同構：假設結構A和結構B 均具有n 個碳原子，A和B 同構當且僅當能夠對A和 B 中的每個碳原子都按照 1~n 編號，使得對於編號為 v1 和 v2 的兩個碳原子，他 們在 A中存在邊相連當且僅當他們在 B中存在邊相連。（換言之，A和 B對應的圖 同構）。 現在，給出n, m，Antonio 希望你幫助他統計有多少種互不同構的含有n 個碳原子的 m-環烷烴。由於這個數量可能很大，你只需要輸出它對p 的余數。（p是一個素數）。 在本題中，我們不考慮某結構在化學上是否能夠穩定存在，也不考慮其他的異構方式。

Input

輸入文件只有一行，用空格隔開的三個整數n, m, p 。保證有m <=n,p為素數。

Output

輸出文件有且僅有一行，表示具有n 個碳原子的互不同構的m-環烷烴的數量，對 p的 余數。 先處理出根的度為2，其余點度<=4的無標號有根樹的方案數 環有旋轉和翻轉兩種變換，由於m>=3，構成的置換群階為2m，用burnside引理處理 旋轉k(0<=k<m)步可以形成gcd(m,k)個等價類，每個等價類包含m/gcd(m,k)個位置 旋轉+翻轉需要分奇偶處理： 若m為奇數，則有m個這種置換，形成(m+1)/2個等價類，其中一個等價類包含1個位置，其余包含2個位置 若m為偶數 　　則有m/2個置換形成m/2個等價類，每個等價類包含2個位置 　　另有m/2個置換形成m/2+1個等價類，其中兩個等價類包含1個位置，其余包含2個位置

#include<cstdio>
typedef unsigned 
 
long long u64;
typedef unsigned int u32;
int n,m;
u32 P;
int gcd(int a,int b){
    for(int c;b;c=a,a=b,b=c%b);
    return a;
}
int phi(int n){
    int v=n;
    for(int i=2;i*i<=n;++i)if(n%i==0){
        do n/=i;while(n%i==0);
        v=v/i*(i-1);
    }
    if(n>1)v=v/n*(n-1);
    return
 
 v;
}
inline u32 fix(int a){
    return a+(a>>31&P);
}
struct num{
    u32 x;
    num(u32 a=0):x(a){}
    num operator+(num w){return fix(x+w.x-P);}
    num operator*(num w){return u64(x)*w.x%P;}
    void operator+=(num w){x=fix(x+w.x-P);}
};
num s[5][1007],gs[11],iv[117],f0[57][1007],f1[57][1007],ans;
void cal(int m,int n){
    int g=gcd(n,m);
    num v=0;
    for(int d=1;d<=g;++d)if(g%d==0)v+=f0[m/d][n/d]*phi(d);
    v+=f1[m][n]*m;
//    printf("%d,%d:%d\n",m,n,v*iv[m*2]);
    ans+=v*iv[m*2];
}
int main(){
    scanf("%d%d%u",&n,&m,&P);
    if(m>n)m=n;
    s[0][0]=iv[1]=1;
    for(int i=2;i<=115;++i)iv[i]=iv[P%i]*(P-P/i);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        f0[1][i]=f1[1][i]=s[0][i-1]+s[1][i-1]+s[2][i-1];
        gs[1]=f0[1][i]+s[3][i-1];
//        printf("[%d:%d]\n",i,gs[1]);
        for(int j=2;j<=3;++j)gs[j]=gs[j-1]*(gs[1]+(j-1))*iv[j];
        for(int j=3;j;--j){
            for(int k=n;k>=i;--k){
                for(int t=1;t<=j;++t){
                    int w=k-t*i;
                    if(w>=0)s[j][k]+=gs[t]*s[j-t][w];
                }
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=m;++i){
        for(int j=i;j<=n;++j){
            for(int k=1;k<j;++k)f0[i][j]+=f0[i-1][j-k]*f0[1][k];
            if(i&1){
                for(int k=2;k<j;k+=2)f1[i][j]+=f0[i>>1][k>>1]*f0[1][j-k];
            }else{
                for(int k=1;k<j;++k)f1[i][j]+=f1[i-1][j-k]*f0[1][k];
                if(~j&1)f1[i][j]+=f0[i>>1][j>>1];
                f1[i][j]=f1[i][j]*iv[2];
            }
//            printf("%d,%d %d %d\n",i,j,f0[i][j],f1[i][j]);
        }
    }
    for(int i=3;i<=m;++i)cal(i,n);
    printf("%d\n",ans.x);
    return 0;
}

bzoj 2601: [Jsoi2011]同分異構體計數