數據結構中常見的樹
Reference: http://blog.csdn.net/sup_heaven/article/details/39313731
BST樹
即二叉搜索樹：
1.所有非葉子結點至多擁有兩個兒子（Left和Right）；
2.所有結點存儲一個關鍵字；
3.非葉子結點的左指針指向小於其關鍵字的子樹，右指針指向大於其關鍵字的子樹；
如：
BST樹的搜索，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那麽就命中；
否則，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；如果比結點關鍵字大，就進入
右兒子；如果左兒子或右兒子的指針為空，則報告找不到相應的關鍵字；
如果BST樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多（平衡），那麽B樹
的搜索性能逼近二分查找；但它比連續內存空間的二分查找的優點是，改變BST樹結構
（插入與刪除結點）不需要移動大段的內存數據，甚至通常是常數開銷；
如：
但BST樹在經過多次插入與刪除後，有可能導致不同的結構：
右邊也是一個BST樹，但它的搜索性能已經是線性的了；同樣的關鍵字集合有可能導致不同的
樹結構索引；所以，使用BST樹還要考慮盡可能讓BST樹保持左圖的結構，和避免右圖的結構，也就
是所謂的“平衡”問題；
AVL平衡二叉搜索樹
定義：平衡二叉樹或為空樹,或為如下性質的二叉排序樹:
（1）左右子樹深度之差的絕對值不超過1;
（2）左右子樹仍然為平衡二叉樹.
平衡因子BF=左子樹深度－右子樹深度.
平衡二叉樹每個結點的平衡因子只能是1，0，-1。若其絕對值超過1，則該二叉排序樹就是不平衡的。
如圖所示為平衡樹和非平衡樹示意圖：
RBT 紅黑樹
AVL是嚴格平衡樹，因此在增加或者刪除節點的時候，根據不同情況，旋轉的次數比紅黑樹要多；
紅黑是弱平衡的，用非嚴格的平衡來換取增刪節點時候旋轉次數的降低；
所以簡單說，搜索的次數遠遠大於插入和刪除，那麽選擇AVL樹，如果搜索，插入刪除次數幾乎差不多，應該選擇RB樹。
紅黑樹上每個結點內含五個域，color，key，left，right，p。如果相應的指針域沒有，則設為NIL。
一般的，紅黑樹，滿足以下性質，即只有滿足以下全部性質的樹，我們才稱之為紅黑樹：
1）每個結點要麽是紅的，要麽是黑的。
2）根結點是黑的。
3）每個葉結點，即空結點（NIL）是黑的。
4）如果一個結點是紅的，那麽它的倆個兒子都是黑的。
5）對每個結點，從該結點到其子孫結點的所有路徑上包含相同數目的黑結點。
下圖所示，即是一顆紅黑樹：
B-樹
是一種平衡多路搜索樹（並不是二叉的）：
1.定義任意非葉子結點最多只有M個兒子；且M>2；
2.根結點的兒子數為[2, M]；
3.除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]；
4.每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）
5.非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1；
6.非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
7.非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的
子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；
8.所有葉子結點位於同一層；
如：（M=3）
B-樹的搜索，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查找，如果
命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重復，直到所對應的兒子指針為
空，或已經是葉子結點；
B-樹的特性：
1.關鍵字集合分布在整顆樹中；
2.任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；
3.搜索有可能在非葉子結點結束；
4.其搜索性能等價於在關鍵字全集內做一次二分查找；
5.自動層次控制；
由於限制了除根結點以外的非葉子結點，至少含有M/2個兒子，確保了結點的至少
利用率，其最底搜索性能為：
其中，M為設定的非葉子結點最多子樹個數，N為關鍵字總數；
所以B-樹的性能總是等價於二分查找（與M值無關），也就沒有B樹平衡的問題；
由於M/2的限制，在插入結點時，如果結點已滿，需要將結點分裂為兩個各占
M/2的結點；刪除結點時，需將兩個不足M/2的兄弟結點合並；
B+樹
B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹：
1.其定義基本與B-樹同，除了：
2.非葉子結點的子樹指針與關鍵字個數相同；
3.非葉子結點的子樹指針P[i]，指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹
（B-樹是開區間）；
5.為所有葉子結點增加一個鏈指針；
6.所有關鍵字都在葉子結點出現；
如：（M=3）
B+的搜索與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹可以在
非葉子結點命中），其性能也等價於在關鍵字全集做一次二分查找；
B+的特性：
1.所有關鍵字都出現在葉子結點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關鍵字恰好
是有序的；
2.不可能在非葉子結點命中；
3.非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是存儲
（關鍵字）數據的數據層；
4.更適合文件索引系統；比如對已經建立索引的數據庫記錄，查找10<=id<=20，那麽只要通過根節點搜索到id=10的葉節點，之後只要根據葉節點的鏈表找到第一個大於20的就行了，比B-樹在查找10到20內的每一個時每次都從根節點出發查找提高了不少效率。
B*樹
是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；
B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3
（代替B+樹的1/2）；
B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的數據
復制到新結點，最後在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂只影響原結點和父
結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針；
B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麽將一部分
數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字
（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之
間增加新結點，並各復制1/3的數據到新結點，最後在父結點增加新結點的指針；
所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；
小結
B樹：二叉樹，每個結點只存儲一個關鍵字，等於則命中，小於走左結點，大於
走右結點；
B-樹：多路搜索樹，每個結點存儲M/2到M個關鍵字，非葉子結點存儲指向關鍵
字範圍的子結點；
所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；
B+樹：在B-樹基礎上，為葉子結點增加鏈表指針，所有關鍵字都在葉子結點
中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；B+樹總是到葉子結點才命中；
B*樹：在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加鏈表指針，將結點的最低利用率
從1/2提高到2/3；
B+/B*Tree應用
數據庫索引--索引文件和數據文件是分離的，索引文件僅保存數據記錄的地址。
數據庫索引--表數據文件本身就是按B+Tree組織的一個索引結構，這棵樹的葉節點data域保存了完整的數據記錄。這個索引的key是數據表的主鍵。
倒排索引--也可以由B樹及其變種實現但不一定非要B樹及其變種實現，如lucene沒有使用B樹結構，因此lucene可以用二分搜索算法快速定位關鍵詞。實現時，lucene將下面三列分別作為詞典文件（Term Dictionary）、頻率文件(frequencies)、位置文件 (positions)保存。其中詞典文件不僅保存有每個關鍵詞，還保留了指向頻率文件和位置文件的指針，通過指針可以找到該關鍵字的頻率信息和位置信息。
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