網絡流之最大流
網絡流
題記：網絡流是最近講過的最迷算法……
網絡流(network-flows)是一種類比水流的解決問題方法，與線性規劃密切相關。非常重視選手在網絡流上的建模技巧，畫圖是非常關鍵的。
1、最大流
問題引入：
有n條溝渠，與水坑s、t相連，匯聚成m個點，第i條溝渠的水流的流量為c[i]，每一個點的流入量和流出量都要相等，水由原點水坑s，匯聚到水坑t，求可以有多少水可以匯聚過去。
（poj. 1273）
如圖所示：
可以將問題進行如下整理：
(1)用c[e]表示每條邊最大的可能流量
(2) 每條邊對應的實際流量為f[e]
(3) 根據條件，可知所有的f[e]<=c[e]
(4) 目標是最大化從s發出的水流量
問題分析：
很容易會想到貪心算法，但很明顯，貪心不一定是最優的，如果從某一個地方，流過全部的水，那麽從其他地方便不能再用這條溝渠了。
舉個例子：如圖1為某個數據用貪心算法所得的值，由某一條溝渠開始流過，盡可能地多流，最後得出最多的水為10。
但最優解應該是圖2，正確答案為11。那麽是哪裏多了了呢？
不防用正解與貪心做法流過水的差值做一個對比，通過對流量的差可以發現，我們通過將原先得到的流給推回去（圖中的-1部分），而得到了新的流，從而達到最優解。
為什麽貪心得不到最優解：
當貪心得到一定的值的時候，那麽這條溝渠便不在能用，把很多原來可能是可以流過去的水給卡在那裏，而匯聚不到t點，用wyy的說法來說，可能會“擋路”。
在這裏大概講一下，畫幾個樣例便會明白。
最大流的定義：
我們稱使得傳輸量最大的f為最大流，而求解最大流的問題稱為最大流問題。而我們學的是增廣路算法。
關於反向邊的建立：
如上面說到的正解，是通過把流推回去而得到的，這麽說明，需要有一個反悔的機會，即不選擇流過原來那麽多水，這下反向邊就很關鍵了。
圖中曲線為建立的反向邊，直線為正向邊。當水流過正向邊的時候，正向邊還可以流過的水量自然要減去已經流過的f，而同時也可以返回f的流水，也就是給反向邊的邊權變為f。
這樣的好處是，下一次再掃路徑發現會有更優時，可以倒退回去，當然，不管是走反向邊還是走正向邊，都要把另一條邊加上流過的水量，以便與以後反悔。
增廣路的定義（註意不是針管路哦）：
我們所考慮的f[e]<c[e]的e和滿足f[e]>0的e對應的反向邊所組成的圖稱為殘余網絡，並稱殘余網絡上s->t的路徑為增廣路。
Ford和Fulkerson叠加算法：
便是在貪心算法的基礎上的叠代。
把各條弧上單位流量的費用看成某種長度,用求解最短路問題的方法確定一條自V1至Vn的最短路;在將這條最短路作為可擴充路,用求解最大流問題的方法將其上的流量增至最大可能值;
而這條最短路上的流量增加後,其上各條弧的單位流量的費用要重新確定,如此多次叠代,最終得到最大流。
具體實現：
我采用的是數組模擬指針的方法，畢竟指針不怎麽會用，而用vertor怕不能準確地找到它的反向邊。
數組模擬指針因為是按順序儲存，把正向邊標為0，反向邊標為1，先存正向邊，再存反向邊。
“無限”跑dfs，直到找不到一條能由s=1到t=n的路徑。每一次在路徑上取最小的流量(mi)，這樣可以確保每一段路減去mi不會為負數。同時要更改此時還可以流過的流量（va）,因為已經流過了這麽多水，要用原來的va-mi，同時要把對面的邊（正邊找反邊，反邊找正邊）加上這麽多（可後悔的值）。
這裏順便說一下怎麽找對面的邊：要找當前的反向邊時，只用加一即可，如果找正向邊，就減一。這樣會好理解一點，因為他們是按順序儲存的！！也可以用異或，代碼更簡潔。
時間復雜度：
最多進行深度為F次深度優先搜索，所以其復雜度為O（F|E|），最壞的情況基本上不存在。所以在多數情況下，及時得出的復雜度偏高，實際運用中還是比較快的。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=205,oo=10000005;
int n,m,a,b,c,s,t,ans;
int cur=-1,head[maxn];
bool v[maxn];
struct water
{
int to,va,next,type;
}edge[2*maxn];
void add(int from,int to,int va,int type)
{
cur++;
edge[cur].to=to;
edge[cur].va=va;
edge[cur].type=type;
edge[cur].next=head[from];
head[from]=cur;
}
int dfs(int now,int mi)
{
if(now==t) return mi;
v[now]=true;
int h=head[now];
while(h!=-1)
{
int to=edge[h].to;
int va=edge[h].va;
if(v[to]==false&&va!=0)
{
int k=dfs(to,min(va,mi));
if(k!=0)
{
edge[h].va-=k;
if(edge[h].type==0) edge[h+1].va+=k;
else edge[h-1].va+=k;
return k;
}
}
h=edge[h].next;
}
return 0;
}
int main()
{
while(cin>>m>>n)
{
ans=0;
cur=-1;
memset(head,-1,sizeof(head));
s=1,t=n;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c,0);
add(b,a,0,1);
}
while(1)
{
int res;
memset(v,false,sizeof(v));
res=dfs(s,oo);
if(res==0) break;
ans+=res;
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
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