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二叉樹簡介

---------------------------註：本文所用的術語定義均來自國外大學和計算機文獻使用的定義，非國內教材。------------------------------

二叉樹也是一種樹，它特殊在： 1、每個結點的孩子最多只能是2，即二叉樹中不存在度大於2的結點。 2、每個結點的孩子結點區分左孩子和又孩子，即便是只有1個孩子結點，也分左孩子和右孩子。 註意： 1、二叉樹是 rooted tree。即二叉樹必須指定，且固定有一個唯一的root結點。這話聽起來很奇怪：只要樹不為空，肯定有root結點啊？可是，一般情況下的樹，他的每一個結點都可以當做root去看待，只不過我們腦袋裏總把一棵樹的圖形固定去理解而已。但是二叉樹的root結點必須是固定唯一，明確指出的。 2、二叉樹是有序樹(ordered tree)。這點對於啃過國內大學教材的朋友來說就很有爭議。我的理解是：二叉樹中的孩子是區分左右的，左右不應該和次序混為一談，只不過二叉樹在實現時，都是通過按有序的方式去完成的。

二叉樹的性質

1、二叉樹的許多性質都和2有關，確切的說是以2為公比，首項為1的等比數列有關。

2、二叉樹的第i層上的節點數最多為 2^i-1 個 （i>=1） （數列的第i項）
3、k層的二叉樹至多有2^k - 1個結點(k≥1)。　　　 （當每層都達到做多結點時，達到最大值 。數列的前k項和） 4、在任意一棵二叉樹中，若終端（葉子）結點的個數為n0，度為2的結點數為n2，則有：n0=n2+1。 要證明這個性質，就要從點和線的方面去分析。 設：度為2的結點個數有n2個，度為1的結點有n1個，度為0 的葉子結點有n0個，樹的總結點為V個。 樹的總的 邊 的個數為E。 ① V = n2 + n1 + n0 ② E= V - 1 除了root結點，其他結點都是由頭頂上的一條邊引出來的。 ③ E= 2*n2 + n1 度為2的結點，必頂會向下引出2條邊， 同理，度為1的結點會引出1條。 結合3個式子消元得：n0 = n2 + 1 5、一個有n個結點的二叉樹，其層次數L 滿足不等式

很好理解。當這個二叉樹是完全二叉樹時，其層次數最小，當每一層僅有1個結點時，層次數最大。

一般二叉樹的存儲實現

1、使用數組作為內部存儲。 這種存儲方法只適合完全二叉樹，如果是一般二叉樹，會造成空間浪費。首先我們需要了解一下當對完全二叉樹使用順序存儲時的細節。 給完全二叉樹的結點，從上到下，從左到右依次從0開始編號作為這個結點的索引，且索引為i的結點，存儲在數組下標為i的地方。則： 如果i==0，則它是root結點。 如果i >0 ，則他的父結點的索引為: 如果 2*(i+1) > n ，則它無左孩子。 2*(i+1) <=n , 則他的左孩子的索引為 2i +1 如果 2*(i+1)+1 > n，則他無右孩子。 2*(i+1)+1 <= n，則它的右孩子的索引為 2i+2 可以發現，使用數組存儲完全二叉樹是非常高效的，因為結點之間的關系都暗含在索引之中了，無需額外的指針，且數組的隨機訪問速度也很快。 如過一個一般二叉樹要使用這種方法存儲，先要填補為一個完全二叉樹。

上圖可以看出，填充浪費一大半的數組空間，所以，一般二叉樹不會使用這種存儲策略。 2、鏈式存儲結構：適合用於存儲一般形態的二叉樹。鏈式存儲更加通用。但是如果是完全二叉樹，使用順序存儲更佳。缺點是指針域占用的空間較多。
題目：采用這種設計時，若總結點數為N，則會有多少個空指針域？ 答：N+2個。 因為N個結點的樹，會有N-1個邊，3N個指針域，而每一條邊會“消滅”2個空指針域。則空指針域 = 3N-2(N-1) = N+2

有時候我們無需知道一個結點的父結點，則結點的設計可以去掉parent域。

題目：采用這種設計時，若總結點數為N，則會有多少個空指針域？答：N+1

因為N個結點的樹，會有N-1個邊，2N個指針域，而每一條邊會“消滅”1個空指針域。則空指針域 = 2N-(N-1) = N+1

【樹2】二叉樹