寬搜經典題之二——8數碼難題+康托展開
阿新 • • 發佈：2017-10-22
col out number ini 它的 proc == pty font
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第二個3*3的矩陣是目標狀態。
【輸出格式】
輸出移動所用最少的步數。
【樣例1輸入】
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7 0 5
1 2 3
8 0 4
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【樣例1輸出】
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【樣例2輸入】
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1 6 4
7 0 5
0 1 2
3 4 5
8 7 6
【樣例2輸出】
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寬搜的定義在上次寬搜一中已講，現在直接看跟本題有關的”康托展開“。
什麽是”康托展開“？其實就是寬搜中實現其主要思想的一個工具——已經考察過的狀態就不再考察。
解釋：X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! ，其中a[i]為當前未出現的元素中是排在第幾個（從0開始）。這就是康托展開。康托展開可用代碼實現。康托展開就是一種特殊的哈希函數。
把一個整數X展開成如下形式：
X=a[n]*n!+a[n-1]*(n-1)!+...+a[2]*2!+a[1]*1!
其中，a為整數，並且0<=a<i,i=1,2,..,n
{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按從小到大排列一共6個。123 132 213 231 312 321 。
代表的數字 1 2 3 4 5 6 也就是把10進制數與一個排列對應起來。
他們間的對應關系可由康托展開來找到。
如我想知道321是{1,2,3}中第幾個大的數可以這樣考慮 ：
第一位是3，當第一位的數小於3時，那排列數小於321 如 123、 213 ，小於3的數有1、2 。所以有2*2!個。再看小於第二位2的：小於2的數只有一個就是1 ，所以有1*1!=1 所以小於321的{1,2,3}排列數有2*2!+1*1!=5個
。所以321是第6個大的數。 2*2!+1*1!是康托展開。
再舉個例子：1324是{1,2,3,4}排列數中第幾個大的數：第一位是1小於1的數沒有，是0個 0*3! 第二位是3小於3的數有1和2，但1已經在第一位了，所以只有一個數2 1*2! 。第三位是2小於2的數是1，但1在第一位，所以
有0個數 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2個，1324是第三個大數。
是caioj上的題目。
1046: [視頻]寬搜1（8數碼問題）
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題目描述
【題目描述】
初始狀態的步數就算1
【輸入格式】
第一個3*3的矩陣是原始狀態；
第二個3*3的矩陣是目標狀態。
【輸出格式】
輸出移動所用最少的步數。
【樣例1輸入】
2 8 3
1 6 4
7 0 5
1 2 3
8 0 4
7 6 5
【樣例1輸出】
6
【樣例2輸入】
2 8 3
1 6 4
7 0 5
0 1 2
3 4 5
8 7 6
【樣例2輸出】
18
上代碼：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int fac[10]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
const int dx[]={-1, 1, 0, 0};
const int dy[]={ 0, 0,-1, 1};
struct node{
int a[3][3],x0,y0;
int step;
node():step(0){ }
};
node b,e;
queue<node> q;
bool f[400000];
void find0(node &x){
for (int i=0;i<3;i++)
for (int j=0;j<3;j++)
if (x.a[i][j]==9){
x.x0 = i;
x.y0 = j;
return;
}
}
void init(){
for (int i=0;i<3;i++)
for (int j=0;j<3;j++){
cin>>b.a[i][j];
if (b.a[i][j]==0) b.a[i][j]=9;
}
find0(b); b.step=1;
for (int i=0;i<3;i++)
for (int j=0;j<3;j++){
cin>>e.a[i][j];
if (e.a[i][j]==0) e.a[i][j]=9;
}
find0(e);
memset(f,0,sizeof(f));
}
int cantor(const node &x){
int t=0,d=0;
for (int i=0;i<3;i++)
for (int j=0;j<3;j++){
d = 0; int k,p;
for (k=0;k<3;k++)
for (p=0;p<3;p++)
if (k*3+p>i*3+j && x.a[i][j]>x.a[k][p])
d++;
t += d*fac[8-(3*i+j)];
}
return t+1;
}
bool issame(const node &x,const node &y){
for (int i=0;i<3;i++)
for (int j=0;j<3;j++)
if (x.a[i][j]!=y.a[i][j])
return false;
return true;
}
int bfs(const node &b){
q.push(b);
f[cantor(b)] = true;
node u,v;
while (!q.empty()){
u = q.front();
if (issame(u,e)){//(cantor(u)==cantor(e)){
return u.step ;
}
q.pop();
for (int i=0;i<4;i++){
v = u;
v.x0 += dx[i];
v.y0 += dy[i];
if (v.x0<0 || v.x0>=3 || v.y0<0 || v.y0>=3) continue;
swap(v.a[v.x0][v.y0],v.a[u.x0][u.y0]);
if (f[cantor(v)]) continue;
v.step++;
q.push(v);
f[cantor(v)] = true;
}
}
return -1;
}
int main(){
init();
cout<<bfs(b)<<endl;
return 0;
}
即將更新：寬搜經典題之三——魔板+康托展開（為什麽寬搜又帶康托展開？它的精髓在哪？且聽下回分解^_^）
寬搜經典題之二——8數碼難題+康托展開