數學問題的解決竅門

• 素數判定

所謂素數: 指恰好有2個約數的整數。

判定: 因為n的約數都不超過n, 所以只要檢查 2 ~ n-1 的所有整數是否整除n就能判定n是不是素數。

2. 在此，如果d 是 n的約數, 那麽 n/d也是n的約數。由n = d * n / d 可知 min(d, n/d) <= 根號n? , 所以只要檢查 2 ~ ? 根號n 的所有整數就足夠了。

3. 同理可知，整數分解和約數枚舉都可以在 O(根號n?) 時間完成。(還有更高效的算法)

#include <iostream>
#include <map>
#include 
 
<vector>
using namespace std;
?
//假設輸入的都是正數
//素性測試
bool is_prime(int n)
{
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return n != 1;     //1是例外
}
?
//約數枚舉
vector<int> divisor(int n)
{
    vector<int> res;
    for (int i = 1; i * i <= n; i++) 
    {
        
 
if (n % i == 0) {
            res.push_back(i);
            if (i != n / i) {
                res.push_back(n / i);
            }
        }
    }
    return res;
}
?
//整數分解
map<int, int> prime_factor(int n)
{
    map<int, int> res;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        
 
while (n % i == 0) 
        {
            ++res[i];
            n /= i;
        }
    }
    if (n != 1) {
        res[n] = 1;
    }
?
    return res;
} 
?
int main()
{
    //記住這個就差不多了
    cout << "素性測試: " << is_prime(7) << endl;
    cout << "==================================================\n";
    
    cout << "約數枚舉(約數總數為2,則為素數):\n";
    vector<int> res = divisor(13);
//  for (const auto& e : res) {
//      cout << e << " ";
//  }   
    cout << (res.size() == 2) << endl;
    cout << "==================================================\n";
    
    cout << "整數分解(他沒有被任何數分解:\n";
    int n = 19;
    map<int, int> res2 = prime_factor(n);
//  for (auto it = res2.begin(); it != res2.end(); ++it)
//  {
//      cout << it->first << " " << it->second << "   ";
//      cout << endl;
//  }
    cout << (res2[n] == 1) << endl;
?
    return 0;
}

• 誒氏篩法

如果只對一個整數進行素性測試, 通常 ? 的算法就夠了，如果要對許多整數進行素性測試，則有更高效的算法。

素數的個數

給定整數n, 請問n以內有多少個素數?

限制條件:

• ?n <= 10^6

#include <iostream>
using namespace std;
?
const int maxn = 10000000;
int prime[maxn];              //第i個素數
bool is_prime[maxn + 1];      //is_prime[i]為true 表示i是素數
?
//返回n以內的素數個數
int sieve(int n)
{
    int p = 0;                //統計素數的個數
    //初始化
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        is_prime[i] = true;
    }
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
?
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            prime[p++] = i;  //將素數添加到prime中
            //1.首先2是素數, 然後劃去所有2的倍數
            //2.表中剩余的最小數字是3, 它不能被更小的數整除, 所以是素數。再將表中所有3的倍數都劃去
            //3.依次類推, 如果表中剩余的最小數字是m時, m就是素數。然後將表中所有m的倍數都劃去。像這樣，就能依次枚舉n以內的素數。
            for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
    return p;
}
?
int main()
{
?
    int cnt = sieve(30);
    
    for (int i = 0; i < cnt; i++) 
    {
        cout << prime[i] << " ";
    }
    
    cout << endl;
    
    return 0;
}

• 用埃氏素數解決藍橋杯簡單題

第八屆藍橋杯第二題：

標題：等差素數列
?
2,3,5,7,11,13,....是素數序列。
類似：7,37,67,97,127,157 這樣完全由素數組成的等差數列，叫等差素數數列。
上邊的數列公差為30，長度為6。
?
2004年，格林與華人陶哲軒合作證明了：存在任意長度的素數等差數列。
這是數論領域一項驚人的成果！
?
有這一理論為基礎，請你借助手中的計算機，滿懷信心地搜索：
?
長度為10的等差素數列，其公差最小值是多少？
?
註意：需要提交的是一個整數，不要填寫任何多余的內容和說明文字。

#include <iostream>
using namespace std;
?
const int maxn = 10000000;
int prime[maxn];              //第i個素數
bool is_prime[maxn + 1];      //is_prime[i]為true 表示i是素數
?
int sieve(int n);
bool isPrime(int n);
void solve();
?
//返回n以內的素數個數
int sieve(int n)
{
    int p = 0;                //統計素數的個數
    //初始化
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        is_prime[i] = true;
    }
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
?
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            prime[p++] = i;  //將素數添加到prime中
            //1.首先2是素數, 然後劃去所有2的倍數
            //2.表中剩余的最小數字是3, 它不能被更小的數整除, 所以是素數。再將表中所有3的倍數都劃去
            //3.依次類推, 如果表中剩余的最小數字是m時, m就是素數。然後將表中所有m的倍數都劃去。像這樣，就能依次枚舉n以內的素數。
            for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
    return p;
}
?
//素性測試
bool isPrime(int n)
{
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return n != 1;     //1是例外
}
?
void solve()
{
    int N = 10000;
    int cnt = sieve(N);
//  cout << cnt << endl;
    for (int i = 1; i <= N; i++)        //枚舉 1~1000的公差 
    {
        for (int j = 0; j < cnt; j++) 
        {
            int flag = 1,       //標誌 
                tmp = prime[j]; //第j個素數
            for (int k = 1; k < 10; k++)   //第一個數已經確定是素數 
            {
                if (tmp + i > N || !isPrime(tmp + i)) {
                    flag = 0; break;
                }
                else {
                    tmp = tmp + i;     //下一個數 
                }
            }
            //如果 連續9個公差為i的數都是素數 
            if (flag) {
                cout << i << "  開始的素數:" << prime[j] << endl;
                return;
            }
        }
    }
}
?
int main()
{
    
    solve();
    
    return 0;
}

• 練習題

• POJ 3126: Prime Path

• POJ 3421: X-factor Chains

• POJ 3292: Semi-prime HB-numbers

數學問題的解決竅門—素數判定