bzoj【2818】Gcd

Description

給定整數N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)為素數的
數對(x,y)有多少對.

Input

一個整數N

Output

如題

Sample Input

Sample Output

HINT

hint
對於樣例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

題解一（自己yy）

　　phi[i]表示與x互質的數的個數

　　即gcd(x,y)=1 1<=y<x

　　∴對於x,y 若a為素數

　　則gcd(xa,ya)=a

　　即滿足xa<=N即可，這個答案即為滿足條件數的個數

　　n是10e7，可以O（N）先求出phi

　　一種方法可以N log N即，二分質數使其滿足，但不夠優秀

　　發現x（枚舉值）不斷增大，即質數個數不斷減少，所以單調性

　　所以O（N）即可。

題解二　

　　求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)為素數的數對(x,y)有多少對

　　枚舉每個素數，然後每個素數p對於答案的貢獻就是（1 ~ n / p） 中有序互質對的個數
　　而求1~m中有序互質對x，y的個數，可以令y >= x, 當y = x時，有且只有y = x = 1互質，

　　當y > x時，確定y以後符合條件的個數x就是　　phiy
　　所以有序互質對的個數為（1 ~ n/p）的歐拉函數之和乘2減1（要求的是有序互質對，乘2以後減去（1， 1）多算的一次）
　　那麽就只需要先篩出歐拉函數再求個前綴和就可以了

思路二更優秀，hzw大佬。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #define ll long long
 4 #define N 10000005
 5 using namespace std;
 6 int n,p,tot;
 7 int phi[N],pri[1000005
 
];
 8 bool mark[N];
 9 ll ans,sum[N];
10 void getphi()
11 {
12     phi[1]=1;
13     for(int i=2;i<=n;i++)
14     {
15         if(!mark[i]){phi[i]=i-1;pri[++tot]=i;}
16         for(int j=1;j<=tot;j++)
17         {
18             int x=pri[j];
19             if(i*x>n)break;
20             mark[i*x]=1;
21             if(i%x==0){phi[i*x]=phi[i]*x;break;}
22             else phi[i*x]=phi[i]*phi[x];
23         }
24     }
25 }
26 int main()
27 {
28     scanf("%d",&n);
29     getphi();
30     for(int i=1;i<=n;i++)
31         sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
32     for(int i=1;i<=tot;i++)
33         ans+=sum[n/pri[i]]*2-1;
34     printf("%lld",ans);
35     return 0;
36 }

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