【題目】C. Bipartite Segments

【題意】給定n個點m條邊的無向連通圖，保證不存在偶數長度的簡單環。每次詢問區間[l,r]中包含多少子區間[x,y]滿足只保留[x,y]之間的點和邊構成的圖是一個二分圖。

【算法】Tarjan縮點（找環）

【題解】如果兩個奇數長度的環相交，會得到一個偶數長度的簡單環。所以原圖是不存在偶數長度環的仙人掌（每條邊只屬於一個簡單環）。

二分圖的定義：一個圖是二分圖當且僅當不存在奇數長度的環。在當前仙人掌上，二分圖實際上要求選擇的點不存在環。

也就是對於圖上已有的每個環x有最小編號點min(x)和最大編號點max(x)，區間不能同時包含min(x)和max(x)。（找環可以用Tarjan縮點）

為了統計區間數量，我們預處理r[i]表示以i為區間左端點，區間右端點最遠到達r[i]，初始r[min(x)]=max(x)-1，然後統計後綴最小值就可以得到r[]數組。

對於詢問的區間i∈[l,r]，若i>r則ans+=r-i+1，否則ans+=r[i]-i+1。容易發現r[]數組單調遞增，所以可以二分求解轉折點。

復雜度O(n log n)。

邊編號不能為0 QAQ

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define ll long long
using
 
 namespace std;
int read(){
    char c;int s=0,t=1;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c==‘-‘)t=-1;
    do{s=s*10+c-‘0‘;}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
const int maxn=300010;
int tot=1,first[maxn],low[maxn],dfn[maxn],dfsnum=0,c[maxn],n,m,mins[maxn],maxs[maxn],s[maxn],d[maxn];
ll sum[maxn],ss[maxn];
 
bool iscut[maxn];
struct edge{int v,from;}e[maxn*2];
void insert(int u,int v){tot++;e[tot].v=v;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}// 
void tarjan(int x,int fa){
    low[x]=dfn[x]=++dfsnum;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa){
        if(!dfn[e[i].v]){
            tarjan(e[i].v,x);
            low[x]=min(low[x],low[e[i].v]);
            if(low[e[i].v]>dfn[x])iscut[i]=iscut[i^1]=1;
        }else low[x]=min(low[x],dfn[e[i].v]);
    }
}
void dfs(int x,int y){
    c[x]=y;d[y]++;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(!iscut[i]&&!c[e[i].v])dfs(e[i].v,y);
}

int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read();
        insert(u,v);insert(v,u);
    }
    tarjan(1,0);int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(!c[i])dfs(i,++cnt);
    memset(mins,0x3f,sizeof(mins));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        mins[c[i]]=min(mins[c[i]],i);
        maxs[c[i]]=max(maxs[c[i]],i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=n;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)if(d[i]>1)s[mins[i]]=maxs[i]-1;
    for(int i=n-1;i>=1;i--)s[i]=min(s[i],s[i+1]);
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+(s[i]-i+1),ss[i]=ss[i-1]+i;
    int q=read();
    while(q--){
        int u=read(),v=read();
        int x=lower_bound(s+u,s+v+1,v)-s;
        ll ans=0;
        ans+=sum[x-1]-sum[u-1];
        ans+=1ll*(v-x+1)*(v+1)-(ss[v]-ss[x-1]);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

【CodeForces】901 C. Bipartite Segments