Period of an Infinite Binary Expansion

　　　　題目大意：給你一個分數，求這個分數二進制表示下從第幾位開始循環，並求出最小循環節長度。

　　　　註釋：int範圍內。

　　　　　　想法：這題說實話，是一道神題！我們思考一下，如何將一個小數換成二進制？連續的乘2，然後取首位。這樣的比較簡潔的轉換方式註定了這題其實是可做的。我們可以抓住循環節的在這樣的方法下是怎樣形成的？顯然，存在一個x，使得每多乘$2^x$都會使得所形成的答案相同。第二點，我們知道，一個分數的循環節開始之前是不參與循環的。這樣，我們思考，多次反復的乘以2，它的整數部分modb是相同的對吧！？！我們在此就有一個式子，就是說

　　　　$2^i\cdot a\equiv 2^j\cdot a(mod\ b)$。其中j>i

　　　　可以變形為$2^j\cdot a-2^i\cdot a\equiv 0(mod\ b)$

　　　　$\Rightarrow 2^i\cdot a\cdot(2^{j-i}-1)$首先，我們在此之前不妨現將a,b弄成互質。現在，gcd(a,b)=1，所以，我們有

　　　　$2^i\cdot (2^{j-i}-1)\equiv 0(mod\ b)$

　　　　顯然，我們想求最小值，我們發現，如果i的值增加，循環節的長度是不會改變的，所以，我們必須求出最小的且滿足題意的i，而這個i，就是b中2的個數。剩下的，就是另一道題了。參考博主博客The Luckiest Number（The Luckiest Number?猛戳）。

　　　　最後，附上醜陋的代碼......

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 typedef long long ll;
 4 using namespace std;
 5 ll gcd(ll a,ll b)
 6 {
 7     return b?gcd(b,a%b):a;
 8 }
 9 ll quick_multiply(ll a,ll b,ll mod)
10 {
11     ll ans=0;
12     a%=mod;
13     b%=mod;
14     while
 
(b)
15     {
16         if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
17         b>>=1;
18         a=(a+a)%mod;
19     }
20     return ans;
21 }
22 ll quick_power(ll a,ll b,ll mod)
23 {
24     ll ans=1;
25     a%=mod;
26     while(b)
27     {
28         if(b&1) ans=quick_multiply(ans,a,mod);
29         b>>=1;
30         a=quick_multiply(a,a,mod);
31     }
32     return ans;
33 }
34 int main()
35 {
36     ll a,b;
37     ll cnt=0;
38     while(~scanf("%I64d/%I64d",&a,&b))
39     {
40         ll k=a,r=b;
41         a/=gcd(k,r);
42         b/=gcd(k,r);
43         ll sum=0;
44         while(b%2==0) b/=2,sum++;
45         printf("Case #%I64d: %I64d,",++cnt,sum+1);
46         ll phi=b;
47         ll m=b;
48         for(int i=2;i*i<=m;++i)
49         {
50             if(m%i==0)
51             {
52                 phi=phi/i*(i-1);
53                 while(m%i==0)
54                 {
55                     m/=i;
56                 }
57             }
58         }
59         if(m!=1) phi=phi/m*(m-1);
60         ll minn=phi;
61         for(ll i=1;i*i<=phi;++i)
62         {
63             if(phi%i==0)
64             {
65                 if(quick_power(2,i,b)==1) minn=min(minn,i);
66                 if(quick_power(2,phi/i,b)==1) minn=min(minn,phi/i);
67             }
68         }
69         printf("%I64d\n",minn);
70     }
71 }

　　　　小結，我們發現，這題對於a的取值並沒有什麽要求，證明是顯然的。

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