【題目】E. Palindromes in a Tree

【題意】給定一棵樹，每個點都有一個a~t的字符，一條路徑回文定義為路徑上的字符存在一個排列構成回文串，求經過每個點的回文路徑數。n<=2*10^5。

【算法】點分治

【題解】狀壓20位的二進制表示一條路徑的字符狀態，點分治過程中維護掃描過的路徑只須維護狀態桶數組，t[i]表示前面狀態為i的路徑條數。

合並：考慮當前狀態為j，要使合並的狀態滿足條件即i^j=1<<k（0<=k<20）或i^j=0，移項得i=j^(1<<k)或i=j，所以路徑數是Σ t [ j^(1<<k) ]+t[j]。

統計每個點：對於當前要處理的重心x，先遍歷所有子樹得到整個t[]數組，然後對每個子樹先刪除其在桶裏的狀態，然後掃一遍貢獻子樹中每個點，最後將子樹的狀態加回桶中。

這樣可以做到每條路徑都貢獻到每個點，要特殊處理重心的貢獻。

復雜度O(n log n)。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=200010,maxN=2000010;
int tot,first[maxn],sz[maxn],vis[maxn],sum,root,a[maxn],u,v,n;
ll ans[maxn],t[maxN];
struct edge{int v,from;}e[maxn*2
 
];

void insert(int u,int v){tot++;e[tot].v=v;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
void getroot(int x,int fa){
    sz[x]=1;
    bool ok=1;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa&&!vis[e[i].v]){
        getroot(e[i].v,x);
        sz[x]+=sz[e[i].v];
        if(sz[e[i].v]>sum/2)ok=0
 
;
    }
    if(ok&&sz[x]>=sum/2)root=x;
}
void dfs(int x,int fa,int p,int s){
    t[s^=(1<<a[x])]+=p;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa&&!vis[e[i].v])dfs(e[i].v,x,p,s);
}
ll calc(int x,int fa,int s){
    s^=(1<<a[x]);ll num=t[s];
    for(int i=0;i<20;i++)num+=t[s^(1<<i)];
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa&&!vis[e[i].v])num+=calc(e[i].v,x,s);
    ans[x]+=num;
    return num;
}
void solve(int x,int s){
    vis[x]=1;
    dfs(x,0,1,0);
    ll num=t[0];
    for(int i=0;i<20;i++)num+=t[1<<i];
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(!vis[e[i].v]){
        dfs(e[i].v,x,-1,1<<a[x]);
        num+=calc(e[i].v,x,0);
        dfs(e[i].v,x,1,1<<a[x]);
    }
    ans[x]+=num/2;
    dfs(x,0,-1,0);
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(!vis[e[i].v]){
        if(sz[e[i].v]>sz[x])sum=s-sz[x];else sum=sz[e[i].v];
        getroot(e[i].v,x);
        solve(root,sum);
    }
}
char s[maxn];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        insert(u,v);insert(v,u);
    }
    scanf("%s",s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=s[i]-‘a‘;
    sum=n;
    getroot(1,0);
    solve(root,sum);
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lld ",ans[i]+1);
    return 0;
}

【CodeForces】914 E. Palindromes in a Tree 點分治