昨天看到一個編程題，以為很簡單，結果還費了一番周折才做出來。

題目：設計一個算法，計算出n階乘中尾部零的個數

11! = 39916800，因此應該返回 2

思路： 最無腦的辦法就是直接求出階乘的值，然後統計尾部的0：

 1 class Solution {
 2 public:
 3     /*
 4      * @param n: A long integer
 5      * @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
 6      */
 7     long long trailingZeros(long
 
 long n) {
 8         if(n==0||n==1)
 9         {return 0;}
10         
11         long long result=1;
12         // write your code here, try to do it without arithmetic operators.
13         for(long long i=1;i<=n;i++)
14         {
15             result = result*i;
16         }
17         int count=0
 
; 
18         while(result%10==0)
19         {
20             count++;
21             result = result/10;
22         }
23         return count;
24     }
25 };

這種方法簡單粗暴，但是如果給定n的值很大的話，求階乘的計算量非常大。

下面就有了第二種思路，在乘法計算裏，只要乘以一個10或者10的個位數倍數，結果的後面就會增加一個0。

因為n的階乘中一定會有n/2個偶數，所以我們只需要考慮有多少個5的倍數，結果的末尾就會增加多少個0。

這裏還要考慮到一種情況就是，如果被乘數是5的n次方的倍數話，就結果的末尾增加n個0，例如25可以表示成5*5，一定可以找到一個4的倍數和他相乘使得結果末尾增加兩個0；

那麽到這裏，思路就可以確認為：判斷有多少個被乘數是5的倍數，如果是5的倍數的話，再判斷這個數是不是5的指數的倍數。就可以確認結果的末尾到底有多少個0

代碼如下：

class Solution {
public:
    /*
     * @param n: A long integer
     * @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
     */
    long long trailingZeros(long long n) {
        if(n==0||n==1)
        {return 0;}
        
        int count=0;
        long long temp = 0;
        // write your code here, try to do it without arithmetic operators.
        for(long long i=1;i<=n;i++)
        {
            temp = i;
            while(temp%5==0)
            {
                count++;
                temp = temp/5;
            }

        }

        return count;
    }
};

這樣雖然優化了很多，但是時間復雜度是O(N/5)~=O(N)，還是沒有達到O(logN)的要求，

最開始想到我要看從1～n裏有多少個5的倍數，只需要直接用n除以5就可以知道結果了，但是5的倍數裏面還包含了25、125······這些5的多次冪。

如果遇到這些數的話，結果就不是加1而是加2加3····；

但是如果換個思路，我們在統計5的倍數的時候，已經就吧25，125····這些數統計進去了，25的倍數就是比5的倍數能多提供一個0；125的倍數就是能在5的倍數和25的倍數的基礎上再多提供一個0····

依此類推，那我們需要求的結果其實就是

n/5 + n/25 + n/125 + n/625······

代碼實現：

class Solution {
public:
    /*
     * @param n: A long integer
     * @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
     */
    long long trailingZeros(long long n) {
        long long count=0;
        long long a = n/5;
        while(a>0)
        {
            count=count+a;
            a=a/5;
        }

        return count;
    }
};

階乘尾部的0（解法思路）