馬爾可夫決策過程中的動規
阿新 • • 發佈:2018-01-28
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DP Policy Evaluation
通過以下步驟進行同步backup,從而評估一個給定的 policy :
- 在第 $k+1$ 輪,
- 對於所有狀態 $s\in S$,
- 更新
$v_{k+1}(s)=\sum_{a\in\mathcal{A}}\pi(a|s)(\mathcal{R}s^a+\gamma\sum{s‘\in\mathcal{S}}\mathcal{P}_{ss‘}^a v_k(s‘))$ - 其中, $s‘$ is a successor state of $s$
## 代碼實現
def policy_eval(policy, env, discount_factor= 1.0, theta=0.00001):
# value function初始化為全0/隨機數
V = np.zeros(env.nS)
while True:
delta = 0
# 對每個狀態進行backup
for s in range(env.nS):
v = 0
# 查找有可能的下一狀態
for a, action_prob in enumerate(policy[s]):
# 對於每個動作,查找可能的下一狀態
for prob, next_state, reward, done in env.P[s][a]:
# 計算預測值v
v += action_prob * prob * (reward + discount_factor * V[next_state])
# 獲得所有狀態下,最大的value function更新程度
delta = max(delta, np.abs(v - V[s]))
V[s] = v
# 更新程度小於閾值時停止評估
if delta < theta:
break
return np.array(V)
DP Policy Iteration
策略叠代的目標是獲得最優策略,其步驟如下:
- 給定一個策略 $\pi$,
- 評估 $\pi$: $v_\pi(s)=\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+...|S_t=s]$
- 貪心地改善 $\pi$: $\pi ‘=greedy(v_\pi)$
其中,改善策略 $\pi$ 的步驟如下:
- 給定一個策略 $\pi$,且 $a=\pi(s)$
- 首先改善策略: $\pi ‘(s)=\arg\max_{a\in\mathcal{A}}q_\pi(s,a)$
- 再改善值 from any state $s$ over one step:
$$
q_\pi(s,\pi ‘(s))=\max_{a\in\mathcal{A}}q_\pi(s,a)\geq q_\pi(s,\pi(s))=v_\pi(s)
$$ - 因此改善了value function,有 $v_{\pi‘}(s)\geq v_\pi(s)$(證明過程如下)
$$
\begin{align}
v_\pi(s)&\leq q_\pi(s,\pi‘(s))=\mathbb{E}{\pi‘}[R_{t+1}+\gamma v_\pi(S_{t+1})|S_t=s]\
&\leq\mathbb{E}{\pi‘}[R_{t+1}+\gamma q_\pi(S_{t+1},\pi‘(S_{t+1}))|S_t=s]\
&\leq\mathbb{E}{\pi‘}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+\gamma^2 q_\pi(S_{t+2},\pi‘(S_{t+2}))|S_t=s]\
&\leq\mathbb{E}{\pi‘}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+...|S_t=s]=v_{\pi‘}(s)
\end{align}
$$
[理論上]當滿足條件$q_\pi(s,\pi ‘(s))=\max_{a\in\mathcal{A}}q_\pi(s,a)= q_\pi(s,\pi(s))=v_\pi(s)$(此時對任意狀態s,都有$v_\pi(s)=v_(s)$)時,停止improvement。
[實際中]定義一個閾值$\epsilon$,當value function的更新程度 $\leq\epsilon$時,停止improvement*;或者,直接設定在k輪之後停止。
## 代碼實現(policy_eval是前面的策略評估函數)
def policy_improvement(env, policy_eval_fn=policy_eval, discount_factor=1.0):
# 初始化策略
policy = np.ones([env.nS, env.nA]) / env.nA
while True:
# 評估當前策略
V = policy_eval_fn(env, policy, discount_factor)
# 若對策略進行了變動,則policy_stable為False
policy_stable = True
# 對每個狀態
for s in range(env.nS):
# 選擇在當前策略下可采取的最佳動作
chosen_a = np.argmax(policy[s])
# 向前一步尋找最佳動作
action_values = np.zeros(env.nA)
for a in range(env.nA):
for prob, next_state, reward, done in env.P[s][a]:
action_values[a] += prob * (reward + discount_factor * V[next_state])
best_a = np.argmax(action_values)
# 貪心更新策略
if chosen_a != best_a:
policy_stable = False
policy[s] = np.eye(env.nA)[best_a]
# 找到了最優策略
if policy_stable:
return policy, V
DP Value Iteration
值叠代的目標也是獲得最優策略,其步驟如下:
- 在第 $k+1$ 輪,
- 對於所有狀態 $s\in S$,
- 更新
$v_{k+1}(s)=\max_{a\in\mathcal{A}}(\mathcal{R}s^a+\gamma\sum{s‘\in\mathcal{S}}\mathcal{P}_{ss‘}^a v_k(s‘))$ - 其中, $s‘$ is a successor state of $s$
Value Iteration (VI) 逆向地(從狀態s‘到s)循環處理整個狀態空間,直到找到最優路徑(即 a set of optimal actions)
Value更新在VI 中和在PE (Policy Evaluation) 中的區別在於:
- 根據上一段描述的VI過程,在VI中更新value不需要知道當前策略是什麽,僅僅直接作用於value空間,所以貪心地用$\max_{a\in\mathcal{A}}$;
- 而在PE中,因為目的是評估策略,value的更新是基於給定策略$\pi$的,所以用$\sum_{a\in\mathcal{A}}\pi(a|s)$。
## 代碼實現
def value_iteration(env, theta=0.0001, discount_factor=1.0):
def one_step_lookahead(state, V):
A = np.zeros(env.nA)
for a in range(env.nA):
for prob, next_state, reward, done in env.P[state][a]:
A[a] += prob * (reward + discount_factor * V[next_state])
return A
V = np.zeros(env.nS)
while True:
# 停止更新的條件
delta = 0
# 對每個狀態
for s in range(env.nS):
# 向前一步尋找最優動作的值(!註意這裏是值,要和策略叠代區分開來)
A = one_step_lookahead(s, V)
best_action_value = np.max(A)
# 獲得所有狀態下,最大的value function更新程度
delta = max(delta, np.abs(best_action_value - V[s]))
# 更新value function
V[s] = best_action_value
# 更新程度小於閾值時停止更新
if delta < theta:
break
# 根據最優的value function得到policy
policy = np.zeros([env.nS, env.nA])
for s in range(env.nS):
# 向前一步尋找最優動作
A = one_step_lookahead(s, V)
best_action = np.argmax(A)
# 總是選擇最優動作
policy[s, best_action] = 1.0
return policy, V
馬爾可夫決策過程中的動規