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\(n\leq1e6\), 顯然還是\(O(n)\)的做法.
這個題有個條件是只能運往編號更大的工廠的倉庫, 這也是寫出樸素dp的方程的條件.
我們令\(f[i]\)表示前\(i\)個工廠的最小花費, 那麽易得
\[f[i]=min\{f[j]+t(j,i)\}\]
其中這個\(t(j,i)\)表示將\((j,i)\)這個區間的東西運到\(i\)的總費用. 很顯然, 這個式子要\(O(1)\)求出來才行, 不然復雜度就要炸...
那麽怎麽\(O(1)\)求呢?
考慮類似於前綴和的性質.

我們令\(s_i\)為將\((1,i]\)這個區間中所有工廠的產品運到\(i\)

#include <cstdio>
const int N=1e6+6;
typedef long long LL;
LL f[N],s[N],c[N];
int q[N],w[N],d[N],n,h,t;
inline int gn(int a=0,char c=0){
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());
    for(;c>47&&c<58;c=getchar())a=a*10
 
+c-48;return a;
}
double slope(int x,int y){
    return 1.0*(f[x]-s[x]+c[x]*d[x]-f[y]+s[y]-c[y]*d[y])/(c[x]-c[y]);
}
int main(){
    n=gn(); for(int i=1;i<=n;++i){
        d[i]=gn();c[i]=c[i-1]+gn();w[i]=gn();
        s[i]=s[i-1]+c[i-1]*(d[i]-d[i-1]);
    }
    for(int i=1,j;i<=n;++i){
        while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])<=d[i]) ++h; j=q[h];
        f[i]=f[j]+s[i]-s[j]-c[j]*(d[i]-d[j])+w[i];
        while(h<t&&slope(q[t],q[t-1])>=slope(q[t],i)) --t;
        q[++t]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
}

【筆記篇】斜率優化dp（四） ZJOI2007倉庫建設