最近一直在學習數論，講得很快，害怕落實的不好，所以做一道luogu的同余方程練練手。

關於x的同余方程

ax ≡ 1 mod m

那麽x其實就是求a關於m的乘法逆元

ax + my = 1

對於這個不定方程的全部解是

{ x = x0 + m/gcd(a,m)

{ y = y0 - a/gcd(a,m)

我們可以用exgcd來求出其中的一組特解x0

那麽什麽是exgcd？

先不考慮exgcd，假設當前我們要處理的是求出 a 和 b的最大公約數，並求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我們已經求出了下一個狀態：b 和 a%b 的最大公約數，並且求出了一組x1 和y1 使

得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd

那麽我們看 a%b = （a-(a/b)*b）

所以
gcd = b*x1 + (a%b)*y1
= b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1
= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

那麽我們對比前面一組 a*x + b*y = gcd

在這裏 x = y1

y = x1 - a/b*y1

所以我們就可以遞歸來求exgcd了。

在gcd當中，gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

那麽exgcd的代碼其實也多不了多少

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3
 
 #include <iostream>
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 ll a, b, x, y, k, ans;
 7 int exgcd(ll a, ll b)
 8 {
 9     if(b == 0)
10     {
11         x = 1; y = 0;
12         return a;
13     }
14     exgcd(b,a%b);
15     k = x; 
16     x = y; 
17     y = k - a/b * y;
18     return x;
 
19 }
20 int main()
21 {
22     cin>>a>>b;
23     ans = exgcd(a,b);
24     cout<<(ans+b)%b;
25     return 0;
26 }

其實你看gcd的代碼這麽短，肯定是背過的吧（#滑稽），exgcd也長不了多少，不行就背過吧（逃

【luogu P1082 同余方程】題解