luogu3224 永無鄉（動態開點，權值線段樹合並）

永無鄉包含 n 座島，編號從 1 到 n ，每座島都有自己的獨一無二的重要度，按照重要度可以將這 n 座島排名，名次用 1 到 n 來表示。某些島之間由巨大的橋連接，通過橋可以從一個島到達另一個島。如果從島 a 出發經過若幹座（含 0 座）橋可以 到達島 b ，則稱島 a 和島 b 是連通的。現在有兩種操作：B x y 表示在島 x 與島 y 之間修建一座新橋。Q x k 表示詢問當前與島 x 連通的所有島中第 k 重要的是哪座島，即所有與島 x 連通的島中重要度排名第 k 小的島是哪座，請你輸出那個島的編號。n≤100000,m≤n,q≤300000。

首先，對於每個島建一個權值線段樹，然後根據初始邊將它們合並。對於在同一個聯通塊裏的點，通過並查集選出其中一個點x，root[x]代表這個聯通塊的線段樹的根。對於查詢，第k重要的島可以通過在權值線段樹裏的二分來確定。合並時，規定將x合並到y。由於初始時，權值線段樹的空間是nlogn，並且不會增加點，所以空間復雜度是nlogn。查詢的時間復雜度是logn，雖然兩顆線段樹合並的時間復雜度是nlogn，但是每個線段樹中的結點最多被歸並一次，並且歸並的次數=被歸並的次數，所以線段樹合並的總時間復雜度也是nlogn。

#include <cctype>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int maxn=1e5+5, maxseg=maxn*20;
//v:表示一個島的重要性 id：重要性反推是哪個結點 fa:用來找到與線段樹對應的結點
int n, m, q, v[maxn], id[maxn], fa[maxn];
//root:將島的編號映射在線段樹根位置上 lc,rc:線段樹結點的左右孩子
int cnt, root[maxn], lc[maxseg], rc[maxseg], seg[maxseg];

void get(int
 
 &x){
    int flag=1; char c;
    for (c=getchar(); !isdigit(c); c=getchar())
        if (c=='-') flag=-1;
    for (x=c-48; c=getchar(), isdigit(c); )
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-48; x*=flag;
}

int find(int x){ return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]); }

//給權值線段樹增加一個值
void add(int &x, int
 
 l, int r, int pos){
    if (!x) x=cnt++;
    if (l==r){ ++seg[x]; return; }
    int mid=(l+r)>>1;
    if (pos>mid) add(rc[x], mid+1, r, pos);
    else add(lc[x], l, mid, pos);
    seg[x]=seg[lc[x]]+seg[rc[x]];
}

//將x歸並到y上，並返回y（nlogn）
int merge(int x, int y){
    //返回存在的子節點。如果子節點都不存在，返回的是空結點
    if (!x) return y; if (!y) return x;
    lc[y]=merge(lc[x], lc[y]);
    rc[y]=merge(rc[x], rc[y]);
    seg[y]=seg[lc[y]]+seg[rc[y]];
    return y;
}

//在權值線段樹中找到第k個點(logn)
int query(int now, int l, int r, int k){
    if (l==r) return l;
    int mid=(l+r)>>1;
    if (seg[lc[now]]>=k) return query(lc[now], l, mid, k);
    else return query(rc[now], mid+1, r, k-seg[lc[now]]);
}

int main(){
    get(n); get(m);
    for (int i=1; i<=n; ++i){
        get(v[i]); id[v[i]]=i;
        fa[i]=i; root[i]=cnt++;
        add(root[i], 1, n, v[i]);
    }
    int t1, t2;
    for (int i=0; i<m; ++i){
        get(t1); get(t2);
        merge(root[find(t1)], root[find(t2)]);
        fa[find(t1)]=find(t2);
    }
    get(q); char c; int x, y;
    for (int i=0; i<q; ++i){
        while (!isgraph(c=getchar()));
        get(x); get(y);
        if (c=='Q'){
            x=root[find(x)];
            if (seg[x]<y) puts("-1");
            else printf("%d\n", id[query(x, 1, n, y)]);
        } else {
            merge(root[find(x)], root[find(y)]);
            fa[find(x)]=find(y);
        }
    }
    return 0;
}

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