如何利用kmeans將數據更加準確地聚類---利用隱含變量最佳類別（EM算法思想）實現
K-means也是聚類算法中最簡單的一種了，但是裏面包含的思想卻是不一般。最早我使用並實現這個算法是在學習韓爺爺那本數據挖掘的書中，那本書比較註重應用。看了Andrew Ng的這個講義後才有些明白K-means後面包含的EM思想。
聚類屬於無監督學習，以往的回歸、樸素貝葉斯、SVM等都是有類別標簽y的，也就是說樣例中已經給出了樣例的分類。而聚類的樣本中卻沒有給定y，只有特征x，比如假設宇宙中的星星可以表示成三維空間中的點集
。聚類的目的是找到每個樣本x潛在的類別y，並將同類別y的樣本x放在一起。比如上面的星星，聚類後結果是一個個星團，星團裏面的點相互距離比較近，星團間的星星距離就比較遠了。
在聚類問題中，給我們的訓練樣本是
，每個
，沒有了y。
K-means算法是將樣本聚類成k個簇（cluster），具體算法描述如下：
|
1、 隨機選取k個聚類質心點（cluster centroids）為 2、 重復下面過程直到收斂 { 對於每一個樣例i，計算其應該屬於的類 對於每一個類j，重新計算該類的質心 } |
。
K是我們事先給定的聚類數，
代表樣例i與k個類中距離最近的那個類，
的值是1到k中的一個。質心
代表我們對屬於同一個類的樣本中心點的猜測，拿星團模型來解釋就是要將所有的星星聚成k個星團，首先隨機選取k個宇宙中的點（或者k個星星）作為k個星團的質心，然後第一步對於每一個星星計算其到k個質心中每一個的距離，然後選取距離最近的那個星團作為
（對裏面所有的星星坐標求平均）。重復叠代第一步和第二步直到質心不變或者變化很小。
下圖展示了對n個樣本點進行K-means聚類的效果，這裏k取2。
K-means面對的第一個問題是如何保證收斂，前面的算法中強調結束條件就是收斂，可以證明的是K-means完全可以保證收斂性。下面我們定性的描述一下收斂性，我們定義畸變函數（distortion function）如下：
J函數表示每個樣本點到其質心的距離平方和。K-means是要將J調整到最小。假設當前J沒有達到最小值，那麽首先可以固定每個類的質心
來讓J函數減少，同樣，固定
，調整每個類的質心
也可以使J減小。這兩個過程就是內循環中使J單調遞減的過程。當J遞減到最小時，
和c也同時收斂。（在理論上，可以有多組不同的
和c值能夠使得J取得最小值，但這種現象實際上很少見）。
由於畸變函數J是非凸函數，意味著我們不能保證取得的最小值是全局最小值，也就是說k-means對質心初始位置的選取比較感冒，但一般情況下k-means達到的局部最優已經滿足需求。但如果你怕陷入局部最優，那麽可以選取不同的初始值跑多遍k-means，然後取其中最小的J對應的
和c輸出。
下面累述一下K-means與EM的關系，首先回到初始問題，我們目的是將樣本分成k個類，其實說白了就是求每個樣例x的隱含類別y，然後利用隱含類別將x歸類。由於我們事先不知道類別y，那麽我們首先可以對每個樣例假定一個y吧，但是怎麽知道假定的對不對呢？怎麽評價假定的好不好呢？我們使用樣本的極大似然估計來度量，這裏是就是x和y的聯合分布P(x,y)了。如果找到的y能夠使P(x,y)最大，那麽我們找到的y就是樣例x的最佳類別了，x順手就聚類了。但是我們第一次指定的y不一定會讓P(x,y)最大，而且P(x,y)還依賴於其他未知參數，當然在給定y的情況下，我們可以調整其他參數讓P(x,y)最大。但是調整完參數後，我們發現有更好的y可以指定，那麽我們重新指定y，然後再計算P(x,y)最大時的參數，反復叠代直至沒有更好的y可以指定。
這個過程有幾個難點，第一怎麽假定y？是每個樣例硬指派一個y還是不同的y有不同的概率，概率如何度量。第二如何估計P(x,y)，P(x,y)還可能依賴很多其他參數，如何調整裏面的參數讓P(x,y)最大。這些問題在以後的篇章裏回答。
這裏只是指出EM的思想，E步就是估計隱含類別y的期望值，M步調整其他參數使得在給定類別y的情況下，極大似然估計P(x,y)能夠達到極大值。然後在其他參數確定的情況下，重新估計y，周而復始，直至收斂。
上面的闡述有點費解，對應於K-means來說就是我們一開始不知道每個樣例
對應隱含變量也就是最佳類別
。最開始可以隨便指定一個
給它，然後為了讓P(x,y)最大（這裏是要讓J最小），我們求出在給定c情況下，J最小時的
（前面提到的其他未知參數），然而此時發現，可以有更好的
（質心與樣例
距離最小的類別）指定給樣例
，那麽
得到重新調整，上述過程就開始重復了，直到沒有更好的
指定。這樣從K-means裏我們可以看出它其實就是EM的體現，E步是確定隱含類別變量
，M步更新其他參數
來使J最小化。這裏的隱含類別變量指定方法比較特殊，屬於硬指定，從k個類別中硬選出一個給樣例，而不是對每個類別賦予不同的概率。總體思想還是一個叠代優化過程，有目標函數，也有參數變量，只是多了個隱含變量，確定其他參數估計隱含變量，再確定隱含變量估計其他參數，直至目標函數最優
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