發現 define HR pad 51cto details signed return 短路徑

與Floyd-Warshall算法一樣這裏仍然使用二維數組e來存儲頂點之間邊的關系，初始值如下。

我們還需要用一個一維數組dis來存儲1號頂點到其余各個頂點的初始路程，如下。

我們將此時dis數組中的值稱為最短路的“估計值”。 既然是求1號頂點到其余各個頂點的最短路程，那就先找一個離1號頂點最近的頂點。通過數組dis可知當前離1號頂點最近是2號頂點。當選擇了2號頂點後，dis[2]的值就已經從“估計值”變為了“確定值”，即1號頂點到2號頂點的最短路程就是當前dis[2]值。為什麽呢？你想啊，目前離1號頂點最近的是2號頂點，並且這個圖所有的邊都是正數，那麽肯定不可能通過第三個頂點中轉，使得1號頂點到2號頂點的路程進一步縮短了。因為1號頂點到其它頂點的路程肯定沒有1號到2號頂點短，對吧O(∩_∩)O~ 既然選了2號頂點，接下來再來看2號頂點有哪些出邊呢。有2->3和2->4這兩條邊。先討論通過2->3這條邊能否讓1號頂點到3號頂點的路程變短。也就是說現在來比較dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1號頂點到3號頂點的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1號頂點到2號頂點的路程，e[2][3]表示2->3這條邊。所以dis[2]+e[2][3]就表示從1號頂點先到2號頂點，再通過2->3這條邊，到達3號頂點的路程。 我們發現dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新為10。這個過程有個專業術語叫做“松弛”。即1號頂點到3號頂點的路程即dis[3]，通過2->3這條邊松弛成功。這便是Dijkstra算法的主要思想：通過“邊”來松弛1號頂點到其余各個頂點的路程。 同理通過2->4（e[2][4]），可以將dis[4]的值從∞松弛為4（dis[4]初始為∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此dis[4]要更新為4）。 剛才我們對2號頂點所有的出邊進行了松弛。松弛完畢之後dis數組為：

接下來，繼續在剩下的3、4、5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點。通過上面更新過dis數組，當前離1號頂點最近是4號頂點。此時，dis[4]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。下面繼續對4號頂點的所有出邊（4->3，4->5和4->6）用剛才的方法進行松弛。松弛完畢之後dis數組為：

繼續在剩下的3、5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點，這次選擇3號頂點。此時，dis[3]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。對3號頂點的所有出邊（3->5）進行松弛。松弛完畢之後dis數組為：

繼續在剩下的5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點，這次選擇5號頂點。此時，dis[5]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。對5號頂點的所有出邊（5->4）進行松弛。松弛完畢之後dis數組為：

最後對6號頂點所有點出邊進行松弛。因為這個例子中6號頂點沒有出邊，因此不用處理。到此，dis數組中所有的值都已經從“估計值”變為了“確定值”。 最終dis數組如下，這便是1號頂點到其余各個頂點的最短路徑。

OK，現在來總結一下剛才的算法。算法的基本思想是：每次找到離源點（上面例子的源點就是1號頂點）最近的一個頂點，然後以該頂點為中心進行擴展，最終得到源點到其余所有點的最短路徑。基本步驟如下：

• 將所有的頂點分為兩部分：已知最短路程的頂點集合P和未知最短路徑的頂點集合Q。最開始，已知最短路徑的頂點集合P中只有源點一個頂點。我們這裏用一個book[ i ]數組來記錄哪些點在集合P中。例如對於某個頂點i，如果book[ i ]為1則表示這個頂點在集合P中，如果book[ i ]為0則表示這個頂點在集合Q中。

• 設置源點s到自己的最短路徑為0即dis=0。若存在源點有能直接到達的頂點i，則把dis[ i ]設為e[s][ i ]。同時把所有其它（源點不能直接到達的）頂點的最短路徑為設為∞。

• 在集合Q的所有頂點中選擇一個離源點s最近的頂點u（即dis[u]最小）加入到集合P。並考察所有以點u為起點的邊，對每一條邊進行松弛操作。例如存在一條從u到v的邊，那麽可以通過將邊u->v添加到尾部來拓展一條從s到v的路徑，這條路徑的長度是dis[u]+e[u][v]。如果這個值比目前已知的dis[v]的值要小，我們可以用新值來替代當前dis[v]中的值。

• 重復第3步，如果集合Q為空，算法結束。最終dis數組中的值就是源點到所有頂點的最短路徑。

代碼如下：

#include <iostream>
#include <cstring>

#define MAX 6
#define INF 0xFFFFFFFF


/*
 * Dijkstra最短路徑。
 * 即，統計圖中"頂點"到其它各個頂點的最短路徑。
 *
 * 參數說明：
 *     vMatrix        -- 鄰接矩陣
 *     apex           -- 起始頂點(start vertex)。即計算"頂點apex"到其它頂點的最短路徑。
 *     prePoint       -- 前驅頂點數組。prePoint[i]的值是"頂點apex"到"頂點i"的最短路徑所經歷的全部頂點中，位於"頂點i"之前的那個頂點。
 *     finalPointVal  -- 長度數組。dist[i]是"頂點apex"到"頂點i"的最短路徑的長度。
 */
void dijkstra(unsigned int vMatrix[][MAX], int apex, unsigned int prePoint[], unsigned int finalPointVal[])
{    
    int i, k;
    unsigned int temp, min;
    int flag[MAX] = {0};// flag[i]=1表示"頂點apex"到"頂點i"的最短路徑已成功獲取。
    for (int i=0; i<MAX; i++)
    {
        flag[i] = 0;        // 頂點i的最短路徑還沒獲取到。
        prePoint[i] = 0;    // 頂點i的前驅頂點為0。
        finalPointVal[i] = vMatrix[apex][i];    //頂點i的最短路徑為"頂點apex"到"頂點i"的權。
    }
    
    // 對"頂點apex"自身進行初始化
    flag[apex] = 1;
    prePoint[apex] = 0;
    
    // 遍歷,每次找出到一個頂點的最短路徑。
    for (i=1; i<MAX; i++)
    {
        min = INF;
        for (int j=0; j<MAX; j++)//尋找當前最小的路徑，即數組finalPointVal，中最小的權的定點
        {
            if (flag[j]==0 && finalPointVal[j]<min)
            {
                min = finalPointVal[j];
                k = j;
            }
        }
        flag[k] = 1;// 標記"頂點k"為已經獲取到最短路徑
        
        for (int j=0; j<MAX; j++)//修正當前最短路徑和前驅頂點，即：當已經"頂點k的最短路徑"之後，更新"未獲取最短路徑的頂點的最短路徑和前驅頂點"
        {
            temp = (vMatrix[k][j]==INF ? INF:(min+vMatrix[k][j]));
            if (flag[j]==0 && temp<finalPointVal[j])
            {
                finalPointVal[j] = temp;
                prePoint[j] = k;
            }
        }
    }
    
    for (i = 0; i < MAX; i++)
        std::cout << "shortest(1," << i+1 << ") = " << finalPointVal[i] << std::endl;
        
}


int main(int argc, char *argv[])
{
    unsigned int prePoint[MAX];
    unsigned int desPoint[MAX];
    unsigned int vMatrix[MAX][MAX] = {{0, 1, 12, INF, INF, INF},
                           {INF, 0, 9, 3, INF, INF},
                           {INF, INF, 0, INF, 5, INF},
                           {INF, INF, 4, 0, 13, 15},
                           {INF, INF, INF, INF, 0, 4},
                           {INF, INF, INF, INF, INF, 0}};
                           
    
    memset(prePoint, 0, sizeof(prePoint));
    memset(desPoint, 0, sizeof(desPoint));
    dijkstra(vMatrix, 0, prePoint, desPoint);
    return 0;
}

參考博客：https://blog.csdn.net/heroacool/article/details/51014824

　　　　 http://blog.51cto.com/ahalei/1387799

最短路徑算法——Dijkstra算法