第四百一十四節，python常用算法學習
本節內容
- 算法定義
- 時間復雜度
- 空間復雜度
- 常用算法實例
1.算法定義
算法（Algorithm）是指解題方案的準確而完整的描述，是一系列解決問題的清晰指令，算法代表著用系統的方法描述解決問題的策略機制。也就是說，能夠對一定規範的輸入，在有限時間內獲得所要求的輸出。如果一個算法有缺陷，或不適合於某個問題，執行這個算法將不會解決這個問題。不同的算法可能用不同的時間、空間或效率來完成同樣的任務。一個算法的優劣可以用空間復雜度與時間復雜度來衡量。
一個算法應該具有以下七個重要的特征：
①有窮性（Finiteness）：算法的有窮性是指算法必須能在執行有限個步驟之後終止；
②確切性(Definiteness)：算法的每一步驟必須有確切的定義；
③輸入項(Input)：一個算法有0個或多個輸入，以刻畫運算對象的初始情況，所謂0個輸 入是指算法本身定出了初始條件；
④輸出項(Output)：一個算法有一個或多個輸出，以反映對輸入數據加工後的結果。沒 有輸出的算法是毫無意義的；
⑤可行性(Effectiveness)：算法中執行的任何計算步驟都是可以被分解為基本的可執行 的操作步，即每個計算步都可以在有限時間內完成（也稱之為有效性）；
⑥高效性(High efficiency)：執行速度快，占用資源少；
⑦健壯性(Robustness)：對數據響應正確。
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2. 時間復雜度
計算機科學中，算法的時間復雜度是一個函數，它定量描述了該算法的運行時間,時間復雜度常用大O符號（大O符號（Big O notation）是用於描述函數漸進行為的數學符號。更確切地說，它是用另一個（通常更簡單的）函數來描述一個函數數量級的漸近上界。在數學中，它一般用來刻畫被截斷的無窮級數尤其是漸近級數的剩余項；在計算機科學中，它在分析算法復雜性的方面非常有用。）表述，使用這種方式時，時間復雜度可被稱為是漸近的，它考察當輸入值大小趨近無窮時的情況。
大O，簡而言之可以認為它的含義是“order of”（大約是）。
無窮大漸近
大O符號在分析算法效率的時候非常有用。舉個例子，解決一個規模為 n 的問題所花費的時間（或者所需步驟的數目）可以被求得：T(n) = 4n^2 - 2n + 2。
當 n 增大時，n^2; 項將開始占主導地位，而其他各項可以被忽略——舉例說明：當 n = 500，4n^2; 項是 2n 項的1000倍大，因此在大多數場合下，省略後者對表達式的值的影響將是可以忽略不計的。
常數階O(1)
常數又稱定數，是指一個數值不變的常量，與之相反的是變量
為什麽下面算法的時間復雜度不是O(3)，而是O(1)。
| 1 2 3 |
int sum = 0,n = 100; /*執行一次*/
sum = （1+n）*n/2; /*執行一次*/
printf（"%d", sum）; /*行次*/
|
這個算法的運行次數函數是f（n）=3。根據我們推導大O階的方法，第一步就是把常數項3改為1。在保留最高階項時發現，它根本沒有最高階項，所以這個算法的時間復雜度為O(1)。
另外，我們試想一下，如果這個算法當中的語句sum=（1+n）*n/2有10句，即：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
int sum = 0, n = 100; /*執行1次*/
sum = （1+n）*n/2; /*執行第1次*/
sum = （1+n）*n/2; /*執行第2次*/
sum = （1+n）*n/2; /*執行第3次*/
sum = （1+n）*n/2; /*執行第4次*/
sum = （1+n）*n/2; /*執行第5次*/
sum = （1+n）*n/2; /*執行第6次*/
sum = （1+n）*n/2; /*執行第7次*/
sum = （1+n）*n/2; /*執行第8次*/
sum = （1+n）*n/2; /*執行第9次*/
sum = （1+n）*n/2; /*執行第10次*/
printf（"%d",sum）; /*執行1次*/
|
事實上無論n為多少，上面的兩段代碼就是3次和12次執行的差異。這種與問題的大小無關（n的多少），執行時間恒定的算法，我們稱之為具有O(1)的時間復雜度，又叫常數階。
註意：不管這個常數是多少，我們都記作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何數字，這是初學者常常犯的錯誤。
推導大O階方法
1.用常數1取代運行時間中的所有加法常數
2.在修改後的運行次數函數中，只保留最高階項
3.如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數
對數階O(log2n)
對數
如果a的x次方等於N（a>0，且a不等於1），那麽數x叫做以a為底N的對數（logarithm），記作x=logaN, 。其中，a叫做對數的底數，N叫做真數。
5^2 = 25 , 記作 2= log5 25
對數是一種運算，與指數是互逆的運算。例如
① 3^2=9 <==> 2=log<3>9；
② 4^(3/2)=8 <==> 3/2=log<4>8；
③ 10^n=35 <==> n=lg35。為了使用方便，人們逐漸把以10為底的常用對數記作lgN
對數階
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
int count = 1;
while (count < n)
{
count = count * 2; /* 時間復雜度為O(1)的程序步驟序列 */
}
|
由於每次count乘以2之後，就距離n更近了一分。
也就是說，有多少個2相乘後大於n，則會退出循環。
由2^x=n得到x=log2n。所以這個循環的時間復雜度為O(logn)。
線性階O(n)
執行時間隨問題規模增長呈正比例增長
| 1 2 3 4 5 |
data = [ 8,3,67,77,78,22,6,3,88,21,2]
find_num = 22
for i in data:
if i == 22:
print("find",find_num,i )
|
線性對數階O(nlog2n)
平方階O(n^2)
| 1 2 3 4 |
for i in range(100):
for k in range(100):
print(i,k)
|
立方階O(n^3)
k次方階O(n^k),
指數階O(2^n)。
隨著問題規模n的不斷增大，上述時間復雜度不斷增大，算法的執行效率越低。
第四百一十四節，python常用算法學習