很喜歡博弈論的題！才不是因為它代碼短

那麽我們接下來就來看一下博弈論及其算法實現

大家在日常生活中應該都接觸過五子棋，它其實也有先手有必贏策略的遊戲，有人也會說我就算先手我也會輸啊~

所以，博弈論問題都有一個前提，那就是參與者都夠聰明（沒有歧義昂）

一.巴什博弈（bash game）

有一堆物品，包含n個，兩個人輪流從中取出一個，最後不能取到的人輸。

考慮到 若n=m+1 那麽 第一個人不論如何取都不能取勝。

進一步我們發現 若 n=k*(m+1)+r; 先取者拿走 r 個，那麽後者再拿（1~m）個 n=（k-1）*（m+1）+s；

先取者再拿走s 個 最後總能造成 剩下n=m+1 的局面。

因此，此時先手有必贏策略。

相對應的，若n=k*(m+1) 那麽先取者必輸。

因此我們可以寫出對應的程序（默認 n m都大於0）

有N堆時也一樣，只不過是加起來再判斷而已。

二.尼姆博弈（Nimm Game）

這個問題其實是可以用巴什博弈來看的，但是我們要用的是威佐夫博奕。

威佐夫博奕（Wythoff Game）：有兩堆各若幹個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。

這種情況下是頗為復雜的。我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示兩堆物品的數量並稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那麽甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k，奇異局勢有如下三條性質：

1、任何自然數都包含在一個且僅有一個奇異局勢中。

由於ak是未在前面出現過的最小自然數，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性質1。成立。

2、任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。

事實上，若只改變奇異局勢（ak，bk）的某一個分量，那麽另一個分量不可能在其他奇異局勢中，所以必然是非奇異局勢。如果使（ak，bk）的兩個分量同時減少，則由於其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差，因此也是非奇異局勢。

3、采用適當的方法，可以將非奇異局勢變為奇異局勢。

假設面對的局勢是（a,b），若 b = a，則同時從兩堆中取走 a 個物體，就變為了奇異局勢（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那麽，取走b - bk個物體，即變為奇異局勢；如果 a = ak ， b < bk ,則同時從兩堆中拿走 ak - ab - ak個物體,變為奇異局勢（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,則從第一堆中拿走多余的數量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k）,從第二堆裏面拿走 b - bj 即可；第二種，a=bj （j < k）,從第二堆裏面拿走 b - aj 即可。

從如上性質可知，兩個人如果都采用正確操作，那麽面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則後拿者取勝。

那麽任給一個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：

ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括號表示取整函數）

奇妙的是其中出現了黃金分割數（1+√5）/2 = 1.618...,因此,由ak，bk組成的矩形近似為黃金矩形，由於2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那麽a = aj，bj = aj + j，若不等於，那麽a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那麽就不是奇異局勢。然後再按照上述法則進行，一定會遇到奇異局勢。

雖然你單身，但是你胖若兩人。

關於博弈論（，，有時間的時候補坑）