今天刷的數位dp 第一題看了題解以後知道了數位dp的基本板子，寫數位dp的方式(運用記憶化遞歸的方法)已經基本固定。

那麽接下來的難點主要還是對於題目描述的問題，如何抽象成dp中的狀態。就今天刷的題來看，dp數組第一維一般為第i位數，這是數位dp的一般表示數的方式。而數組究竟還要加幾維就要看題目要求的東西。

如下題：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3709

題意即求：

對於某個 number，你可以 fix a pivot 在某位，然後如果分成的左右兩部分的 sigma（d[i] * | i - fixloc |）相等，則它是 Balanced Number。

統計區間 [a,b] 中Balance Number 的個數。(引用https://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/9302069)

這個題目問的是滿足條件的最大總數。故dp數組(不管幾維)=當前狀態的最大總數。

那麽問題用數位dp 關註數字本身屬性的思想，可以抽象出一個狀態即支點的位置[x]。

//除此，與問題結果直接相關的即支點兩端的力矩差[sum]。

因為數位dp是(貌似dp都是)枚舉所有情況再找到最優解的，所以一定會有一個狀態為問題所要求滿足的東西。以該題看，條件要求滿足的就是支點兩邊的力矩差=0，那麽力矩差就一定是dp數組裏的一維了。

綜上兩個狀態發現最大總數就是各個點為支點所有滿足力矩差為0的情況的總和sum。

可以將所有的情況列出。此時思考dp數組結束，即dp[pos][x][sum]。

找到正確的dp數組後就可以開心的套板子再調整細節等AC了~~~

(這題AC代碼可以從上面的鏈接看，我偷懶不發了)

其實如果能將問題抽象為數學函數那麽能更加直觀的發現狀態，如題目要求找到(0,n)上所有能被13整除的數的總數那滿足要求的x=cigma(n%13==0) dp數組即cigma()，狀態就是數n和n%13，(也就是自變量和與自變量相關的運算)。

可得dp[pos][13]。

#include<cstdio>
#include<cstring>
int dp[10][15];
 
int digit[10];
int n;
int dfs(int pos,int mod ,int limit)
{
    if(pos==-1)return mod==0;
    if(!limit&&dp[pos][mod]!=-1)return dp[pos][mod];
    int tmp=0,mm,;
    int up=limit?digit[pos]:9;
    for(int i=0;i<=up;i++)
    {
        mm=(mod*10+i)%13;
        tmp+=dfs(pos-1,mm,limit&&i==digit[pos]);
    }
    if(!limit)dp[pos][mod]=tmp;
    return tmp;
}
int solve(int x)
{
    int k = x;
    int pos = 0;
    while(k)
    {
        digit[pos++]=k%10;
        k/=10;
    }
    return dfs(pos-1,0,1);
}
int main()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d\n",solve(n));
    }
    return 0;
}

數位dp對於狀態描述與發現的一些感悟