LCT(link cut tree) 動態樹
阿新 • • 發佈：2018-07-26
技術分享 spa turn ++ 知識點 操作 ini pla mda 
模板參考：https://blog.csdn.net/saramanda/article/details/55253627
幾個知識點：
1、LCT中用Splay維護鏈，這些Splay叫做“輔助樹“。輔助樹以它上面每個節點的深度為關鍵字維護，就是輔助樹中每個節點左兒子的深度小於當前節點的深度，當前節點的深度小於右兒子的深度。
2、LCT相當於多棵splay被虛線連在一起，即splay森林；而最開始的時候是N個單獨的點與他的父親用虛線相連，每個點是一棵splay。
3、無論樹怎樣旋轉，怎樣變換，讀入時所連接(link)的邊（沒有被cut的），一直都連著的
4、在每棵splay中每一個結點左子樹中的節點都是他在原樹中的祖先，右子樹中的結點都是他在原樹中的孩子。
5、splay森林實例：
原樹：
一種可能的splay森林：
6、access(x)操作：
—————————題目—————————
1、Cave 洞穴勘測 HYSBZ - 2049
題意：一開始有n個洞穴，兩兩之間沒有通道。每次將兩個洞穴連接或者兩個洞穴之間的通道摧毀，或者詢問兩個洞穴之間能否連通。
思路：LCT模板題。連接則通過link(u,v)實現，摧毀通過cut(u,v)實現，兩個洞穴能否連通則考慮u的根和v的根是否相同。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 const int maxn = 10000 + 10; 5 struct LCT 6 { 7 struct node 8 { 9 int fa, ch[2]; //父親(Splay對應的鏈向上由輕邊連著哪個節點)、左右兒子 10 int reverse;//區間反轉標記 11 bool is_root; //是否是所在Splay的根View Code12 //int siz; 13 //int val; 14 //int sum; 15 }Tree[maxn]; 16 int n; 17 //int v[maxn];//每個結點的值 18 void init() 19 { 20 for (int i = 1; i <= n; i++) 21 { 22 Tree[i].reverse = Tree[i].fa = Tree[i].ch[0] = Tree[i].ch[1] = 0; 23 Tree[i].is_root = true; 24 //Tree[i].siz = 1; 25 //Tree[i].val = Tree[i].sum = v[i]; 26 } 27 } 28 29 bool getson(int x) 30 {//x是否為重兒子 31 return x == Tree[Tree[x].fa].ch[1]; 32 } 33 bool isroot(int x) 34 { 35 return Tree[Tree[x].fa].ch[0] != x && Tree[Tree[x].fa].ch[1] != x; 36 } 37 void pushreverse(int x) 38 { 39 if (!x)return; 40 swap(Tree[x].ch[0], Tree[x].ch[1]); 41 Tree[x].reverse ^= 1; 42 } 43 void pushdown(int x) 44 {//下傳反轉標記 45 if (Tree[x].reverse) 46 { 47 pushreverse(Tree[x].ch[0]); 48 pushreverse(Tree[x].ch[1]); 49 Tree[x].reverse = 0; 50 } 51 } 52 /* 53 void update(int x) 54 { 55 int l = Tree[x].ch[0], r = Tree[x].ch[1]; 56 Tree[x].siz = Tree[l].siz + Tree[r].siz + 1; 57 Tree[x].sum = Tree[l].sum + Tree[r].sum + Tree[x].val; 58 } 59 */ 60 void rotate(int x) 61 {//將x旋轉為根 62 if (Tree[x].is_root)return; 63 int k = getson(x), fa = Tree[x].fa; 64 int fafa = Tree[fa].fa; 65 pushdown(fa); pushdown(x); //先要下傳標記 66 Tree[fa].ch[k] = Tree[x].ch[k ^ 1]; 67 if (Tree[x].ch[k ^ 1])Tree[Tree[x].ch[k ^ 1]].fa = fa; 68 Tree[x].ch[k ^ 1] = fa; 69 Tree[fa].fa = x; 70 Tree[x].fa = fafa; 71 if (!Tree[fa].is_root)Tree[fafa].ch[fa == Tree[fafa].ch[1]] = x; 72 else Tree[x].is_root = true, Tree[fa].is_root = false; 73 //update(fa);update(x); //如果維護了信息，就要更新節點 74 } 75 void push(int x) 76 { 77 if (!Tree[x].is_root) push(Tree[x].fa); 78 pushdown(x); 79 } 80 int getFa(int x) 81 {//尋找x在原樹的父親 82 access(x); 83 Splay(x); 84 while (Tree[x].ch[0]) x = Tree[x].ch[0]; 85 return x; 86 } 87 void Splay(int x) 88 {//讓x成為Splay的根 89 push(x); //在Splay到根之前，必須先傳完反轉標記 90 for (int fa; !Tree[x].is_root; rotate(x)) { 91 if (!Tree[fa = Tree[x].fa].is_root) { 92 rotate((getson(x) == getson(fa)) ? fa : x); 93 } 94 } 95 } 96 void access(int x) 97 {//訪問某節點。作用是：對於訪問的節點x，打通一條從樹根（真實的LCT樹）到x的重鏈；如果x往下是重鏈，那麽把x往下的重邊改成輕邊。 98 int y = 0; 99 do { 100 Splay(x); 101 Tree[Tree[x].ch[1]].is_root = true; 102 Tree[Tree[x].ch[1] = y].is_root = false; 103 //update(x); //如果維護了信息記得更新。 104 x = Tree[y = x].fa; 105 } while (x); 106 } 107 void mroot(int x) 108 {//把某個節點變成樹根（這裏的根指的是整棵LCT的根） 109 access(x);//使x與根結點處在同一棵splay中 110 Splay(x);//x成為這棵splay的根,x只有左兒子 111 pushreverse(x); 112 } 113 void link(int u, int v) 114 {//連接u所在的LCT和v所在的LCT 115 mroot(u);//先讓u成為其所在LCT的根 116 Tree[u].fa = v; 117 } 118 void cut(int u, int v) 119 {//分離出兩棵LCT 120 mroot(u); //先讓u成為其所在LCT的根 121 access(v); //讓u和v在同一棵Splay中 122 Splay(v); //連接u、v，u是v的左兒子 123 pushdown(v); //先下傳標記 124 Tree[Tree[v].ch[0]].fa = Tree[v].fa; 125 Tree[Tree[v].ch[0]].is_root = true; 126 Tree[v].fa = 0; 127 Tree[v].ch[0] = 0; 128 //v的左孩子表示v上方相連的重鏈 129 //update(v); //記得維護信息 130 } 131 bool judge(int u, int v) 132 {//判斷u和v是否連通 133 while (Tree[u].fa) u = Tree[u].fa; 134 while (Tree[v].fa) v = Tree[v].fa; 135 return u == v; 136 } 137 }lct; 138 int main() 139 { 140 int m; 141 while (~scanf("%d%d", &lct.n, &m)) 142 { 143 lct.init(); 144 char op[50]; 145 int u, v; 146 for (int i = 1; i <= m; i++) 147 { 148 scanf("%s%d%d", op, &u, &v); 149 if (op[0] == ‘Q‘) 150 { 151 if (lct.judge(u, v)) printf("Yes\n"); 152 else printf("No\n"); 153 } 154 else if (op[0] == ‘C‘) 155 { 156 lct.link(u, v); 157 } 158 else 159 { 160 lct.cut(u, v); 161 } 162 } 163 } 164 return 0; 165 }
2、Bounce 彈飛綿羊 HYSBZ - 2002
題意：有n個彈射裝置，當綿羊在第i個彈射裝置時，會被彈射到第i+val[i]個彈射裝置，val數組記錄每個彈射裝置的彈射系數。有兩個操作，要麽詢問當綿羊站在第x個彈射裝置時會經過多少次被彈飛，要麽修改某個彈射裝置的系數。
思路：可以將第i個彈射裝置與第i+val[i]個裝置相連，新增第n+1個點作為樹根，表示被彈飛。詢問次數時即詢問當前x到樹根的距離即深度，然後-1即可（第n+1個結點不彈射）；修改某個彈射裝置的系數相當於修改某個結點的父親，先將原父親刪除，再重新連接父親。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int maxn = 200000 + 10; 6 int val[maxn]; 7 struct LCT 8 { 9 struct node 10 { 11 int fa, ch[2]; //父親(Splay對應的鏈向上由輕邊連著哪個節點)、左右兒子 12 int reverse;//區間反轉標記 13 bool is_root; //是否是所在Splay的根 14 int siz; 15 }Tree[maxn]; 16 int n; 17 void init(int maxn) 18 { 19 for (int i = 1; i <= maxn; i++) 20 { 21 Tree[i].reverse = Tree[i].fa = Tree[i].ch[0] = Tree[i].ch[1] = 0; 22 Tree[i].is_root = true; 23 Tree[i].siz = 1; 24 } 25 } 26 27 bool getson(int x) 28 {//x是否為重兒子 29 return x == Tree[Tree[x].fa].ch[1]; 30 } 31 bool isroot(int x) 32 { 33 return Tree[Tree[x].fa].ch[0] != x && Tree[Tree[x].fa].ch[1] != x; 34 } 35 void pushreverse(int x) 36 { 37 if (!x)return; 38 swap(Tree[x].ch[0], Tree[x].ch[1]); 39 Tree[x].reverse ^= 1; 40 } 41 void pushdown(int x) 42 {//下傳反轉標記 43 if (Tree[x].reverse) 44 { 45 pushreverse(Tree[x].ch[0]); 46 pushreverse(Tree[x].ch[1]); 47 Tree[x].reverse = 0; 48 } 49 } 50 51 void update(int x) 52 { 53 int l = Tree[x].ch[0], r = Tree[x].ch[1]; 54 Tree[x].siz = 1; 55 if (l) Tree[x].siz += Tree[l].siz; 56 if (r) Tree[x].siz += Tree[r].siz; 57 } 58 59 void rotate(int x) 60 {//將x旋轉為根 61 if (Tree[x].is_root)return; 62 int k = getson(x), fa = Tree[x].fa; 63 int fafa = Tree[fa].fa; 64 pushdown(fa); pushdown(x); //先要下傳標記 65 Tree[fa].ch[k] = Tree[x].ch[k ^ 1]; 66 if (Tree[x].ch[k ^ 1])Tree[Tree[x].ch[k ^ 1]].fa = fa; 67 Tree[x].ch[k ^ 1] = fa; 68 Tree[fa].fa = x; 69 Tree[x].fa = fafa; 70 if (!Tree[fa].is_root)Tree[fafa].ch[fa == Tree[fafa].ch[1]] = x; 71 else Tree[x].is_root = true, Tree[fa].is_root = false; 72 update(fa);update(x); //如果維護了信息，就要更新節點 73 } 74 void push(int x) 75 { 76 if (!Tree[x].is_root) push(Tree[x].fa); 77 pushdown(x); 78 } 79 int getFa(int x) 80 {//尋找x在原樹的父親 81 access(x); 82 Splay(x); 83 while (Tree[x].ch[0]) x = Tree[x].ch[0]; 84 return x; 85 } 86 void Splay(int x) 87 {//讓x成為Splay的根 88 push(x); //在Splay到根之前，必須先傳完反轉標記 89 for (int fa; !Tree[x].is_root; rotate(x)) { 90 if (!Tree[fa = Tree[x].fa].is_root) { 91 rotate((getson(x) == getson(fa)) ? fa : x); 92 } 93 } 94 } 95 void access(int x) 96 {//訪問某節點。作用是：對於訪問的節點x，打通一條從樹根（真實的LCT樹）到x的重鏈；如果x往下是重鏈，那麽把x往下的重邊改成輕邊。 97 int y = 0; 98 do { 99 Splay(x); 100 Tree[Tree[x].ch[1]].is_root = true; 101 Tree[Tree[x].ch[1] = y].is_root = false; 102 update(x); //如果維護了信息記得更新。 103 x = Tree[y = x].fa; 104 } while (x); 105 } 106 void mroot(int x) 107 {//把某個節點變成樹根（這裏的根指的是整棵LCT的根） 108 access(x);//使x與根結點處在同一棵splay中 109 Splay(x);//x成為這棵splay的根,x只有左兒子 110 pushreverse(x); 111 } 112 void link(int u, int v) 113 {//連接u所在的LCT和v所在的LCT 114 mroot(u);//先讓u成為其所在LCT的根 115 Tree[u].fa = v; 116 Tree[u].is_root = true; 117 } 118 void cut(int u, int v) 119 {//分離出兩棵LCT 120 mroot(u); //先讓u成為其所在LCT的根 121 access(v); //讓u和v在同一棵Splay中 122 Splay(v); //連接u、v，u是v的左兒子 123 pushdown(v); //先下傳標記 124 Tree[Tree[v].ch[0]].fa = Tree[v].fa; 125 Tree[Tree[v].ch[0]].is_root = true; 126 Tree[v].fa = 0; 127 Tree[v].ch[0] = 0; 128 //v的左孩子表示v上方相連的重鏈 129 update(v); //記得維護信息 130 } 131 bool judge(int u, int v) 132 {//判斷u和v是否連通 133 while (Tree[u].fa) u = Tree[u].fa; 134 while (Tree[v].fa) v = Tree[v].fa; 135 return u == v; 136 } 137 int Query_deep(int x) 138 {//詢問x到LCT根的距離(深度) 139 access(x); 140 Splay(x); 141 return Tree[x].siz; 142 } 143 }lct; 144 int main() 145 { 146 int m; 147 while (~scanf("%d", &lct.n)) 148 { 149 lct.init(lct.n+1);////讓n+1表示被彈飛 150 for (int i = 1; i <= lct.n; i++) 151 { 152 scanf("%d", &val[i]); 153 int id = min(i + val[i], lct.n + 1); 154 lct.link(i, id); 155 } 156 lct.mroot(lct.n + 1); 157 scanf("%d", &m); 158 for (int i = 1; i <= m; i++) 159 { 160 int op, x; 161 scanf("%d%d", &op, &x); 162 x++; 163 if (op == 1) printf("%d\n", lct.Query_deep(x)-1); 164 else 165 { 166 int v; 167 scanf("%d", &v); 168 int oid = min(x + val[x], lct.n + 1); 169 int nid = min(x + v, lct.n + 1); 170 lct.cut(x, oid); 171 lct.link(x, nid); 172 lct.mroot(lct.n + 1); 173 val[x] = v; 174 } 175 } 176 } 177 return 0; 178 }View Code
LCT(link cut tree) 動態樹