《Data Structure and Algorithm Analysis in C++》筆記

大多數的數學函數可以被描述成簡單表達式。

例如：

　　華氏度和攝氏度轉換的表達式為

　　　　C = 5 *( F - 32 ) / 9

這種式子我們可以明確地一行行轉換成C++代碼。

但有時候，數學函數的表達式采用另一種形式——遞推式（iterative）。

例如：

　　f(0) = 0

　　f(x) = 2 * f(x - 1) + x²

計算幾項結果：

　　f(1) = 1，f(2) = 6, f(3) = 21 ...

遞推式通常給出初值和條件，後項由前項加以條件得到結果，層層進行以得到各項。

對於遞推式，C++語言可以通過兩種思路處理。

其中一種是遞歸（recursive）。

C++允許函數被遞歸式定義,但這種允許是有條件的。

並非所有數學上的遞推式都可以高效地（或者正確地）使用C++模擬。

出於效率考慮，我們理想中的遞歸實現應當保證後項依賴的前項不涉及復雜計算。

上述遞推式的C++語言描述：

int f(int x) {
　　if (x == 0) {
　　　　return 0;
　　}
　　else {
　　　　return 2 * f(x - 1) + x*x;
　　}
}

其中第2到3行是遞推式f(0)的描述，它在遞推式中叫做初始條件，而在遞歸實現中稱為遞歸出口

僅僅聲明f(x) = 2f(x-1) +x²的關系是無意義的，遞歸實現必須先給出明確的遞歸出口。

對於遞歸，通常會存在普遍的疑問。

其中一個共同的問題就是：難道這不會陷入繞圈邏輯？如何避免呢？

答案是：

　　只要我們在給定遞推關系時，保證遞推關系僅僅依賴於前後項而非自身即可。

換句話：

　　遞推f(5)需要用到計算f(5)的結果，那將會陷入繞圈。

　　但遞推f(5)僅需要用到計算f(4)的結果，不會繞圈。

另外一個重要問題，檢查遞歸出口有效性。（小心負數，小心除法）

在上述遞歸實現中，

想知道f(3)，就得知道f(2)。想知道f(2)，就得知道f(1)。想知道f(1),就得知道f(0)

這使得其看上去像是個美妙的遞歸實現。

小心負數：

但假如我們試圖計算符合數據類型的f(-1)呢？

想知道f(-1)，就得知道f(-2)。想知道f(-2)，就得知道f(-3)。……

以此類推，想得到前項需要用到無限的後項，計算機永遠也得不到結果，這種實現明顯是不合格的。

另外的導致遞推出口失效的隱秘可能，除法運算：

int bad(int n) {
　　if (n == 0) {
　　　　return 0;
　　}
　　else {
　　　　return bad(n / 3 + 1) + n - 1;
　　}
}

它看上去定義了明確的遞推出口，但bad(1) 需要知道bad(n / 3 + 1)，而C++的除法運算會隱式轉換，1/3 =0.

bad(1)需要知道bad(1),bad(2)需要知道bad(1)，而bad(3)到bad(5)都需要知道bad(2)。

而這種混亂關系中，我們僅僅知道bad(0) = 0這個無法抵達的出口，因此整個遞歸實現都失效了。

在遞推關系涉及到負數和除法運算時，我們要格外小心。

遞歸（Recursion）簡述及一些註意事項