鏈接：

https://www.spoj.com/problems/COT/en/

思路：

首先看到求兩點之前的第k小很容易想到用主席樹去寫，但是主席樹處理的是線性結構，而這道題要求的是樹形結構，我們可以用dfs跑出所有點離根的距離-dep[i](根為1，dep[1]也為1）在dfs的過程

中，我們對每一個節點建一棵線段樹，那麽【a,b】就是：root[a] + root[b] - root[lca(a,b)] - root[f[lca(a,b)]]; (因為a-b的路徑上的權值還要算上lca(a,b)這個點,所以不是減2*root[lca(a,b)]);

實現代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using
 
 namespace std;
#define ll long long
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define mid int m = (l + r) >> 1
const int M = 2e5 + 10;
int p[M][30],dep[M],head[M],sum[M*20],ls[M*20],rs[M*20],root[M*20];
int cnt1,n,idx,cnt,f[M];

struct node {
    int to,next;
}e[M];

 
void add(int u,int v){
    e[++cnt1].to=v;e[cnt1].next=head[u];head[u]=cnt1;
    e[++cnt1].to=u;e[cnt1].next=head[v];head[v]=cnt1;
}

int lca(int a,int b){
    if(dep[a] > dep[b]) swap(a,b);
    int h = dep[b] - dep[a]; //h為高度差
    for(int i = 0;(1<<i)<=h;i++){  //(1<<i)&f找到h化為2進制後1的位置，移動到相應的位置
 

        if((1<<i)&h) b = p[b][i];
        //比如h = 5(101),先移動2^0祖先，然後再移動2^2祖先
    }
    //cout<<a<<" "<<b<<endl;
    if(a!=b){
        for(int i = 22;i >= 0;i --){
            if(p[a][i]!=p[b][i]){  //從最大祖先開始，判斷a,b祖先，是否相同
                a = p[a][i]; b = p[b][i]; //如不相同，a,b,同時向上移動2^j
            }
        }
        a = p[a][0]; //這時a的father就是LCA
    }
    return a;
}

void build(int l,int r,int &rt){
    rt = ++idx;
    sum[rt] = 0;
    if(l == r) return;
    mid;
    build(l,m,ls[rt]);
    build(m+1,r,rs[rt]);
}

void update(int p,int l,int r,int old,int &rt){
    rt = ++idx;
    ls[rt] = ls[old]; rs[rt] = rs[old]; sum[rt] = sum[old] + 1;
    if(l == r) return ;
    mid;
    if(p <= m) update(p,l,m,ls[old],ls[rt]);
    else update(p,m+1,r,rs[old],rs[rt]);
}

int query(int a,int b,int lc,int cl,int l,int r,int k){
    if(l == r) return l;
    mid;
    int cnt = sum[ls[a]] + sum[ls[b]] - sum[ls[lc]] - sum[ls[cl]];
    if(k <= cnt)
        return query(ls[a],ls[b],ls[lc],ls[cl],l,m,k);
    else
        return query(rs[a],rs[b],rs[lc],rs[cl],m+1,r,k-cnt);
}
int a[M],b[M];

void dfs(int u,int fa){
    f[u] = fa;
    dep[u] = dep[fa] + 1;
    p[u][0] = fa;
    for(int i = 1;i < 20;i ++) p[u][i] = p[p[u][i-1]][i-1];
    update(a[u],1,cnt,root[fa],root[u]);
    for(int i = head[u];i!=-1;i = e[i].next){
        int v = e[i].to;
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,u);
    }
}

int main()
{
    int m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        cnt1 = 0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        memset(dep,0,sizeof(dep));
        memset(p,0,sizeof(p));
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i = 1; i <= n;i ++){
            scanf("%d",&a[i]);
            b[i] = a[i];
        }
        idx = 0;
        int l,r,c;
        sort(b+1,b+n+1);
        cnt = unique(b+1,b+1+n)-b-1;
        for(int i = 1;i <= n;i ++)
            a[i] = lower_bound(b+1,b+cnt+1,a[i]) - b;
        for(int i = 1;i <= n-1;i ++){
            scanf("%d%d",&l,&r);
            add(l,r);
        }
        build(1,cnt,root[0]);
        dfs(1,0);
        for(int i = 1;i <= m;i ++){
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
            int lc = lca(l,r);
            int id = query(root[l],root[r],root[lc],root[f[lc]],1,cnt,c);
            printf("%d\n",b[id]);
        }
    }
    return 0;
}

spoj COT - Count on a tree (樹上第K小 LCA+主席樹）