題解【土地征用_USACO08MAR】(洛谷P2900)
阿新 • • 發佈：2018-08-13
得出 兩種 include 復雜 can pla ret names \n
題意
需要購買\(n\)塊土地，每塊土地有一個長\(r_i\)與寬\(c_i\)。可以將這些土地打成幾包購買。每包土地的價格為這包土地中最大的長乘以最大的寬。求最小花費。
分析一下
- \(DP\)沒話說，看數據範圍知道要用斜率優化了。
- \(F_i\)表示處理完第\(i\)塊土地的最小花費。
- 轉移就是枚舉之前的一塊土地\(j\)，將\([j + 1\cdots i]\)全部看成一包進行轉移，即：
\[F_i = min\{F_j + r_{j+1} \cdot c_i\}\] - 這個轉移成立的前提是\(c\)數組要從小到大排序，才能在轉移時\(c_i\)最大。
- 再有就是預先把那些直接被包含的土地（長與寬都小於其他任意一塊土地）刪掉，買了也對轉移沒用。
優化過程
- 啊啦斜率優化原理什麽的不太清楚啦~
- 只知道按步驟來不怎麽會錯啦~
- 設狀態\(i\)，有兩種轉移\(j,k\)，且\(j < k < i\)且\(k\)更優。即：
\[F_k + r_{k + 1} \cdot c_i < F_j + r_{j + 1} \cdot c_i\] - 移項，變為左邊與\(i\)有關的不等式：
\[c_i \cdot (r_{k+1} - r_{j + 1}) < F_j - F_k\]
\[\because r_{k + 1} \geq r{j + 1}\]
\[\therefore c_i < \frac{F_j - F_k}{r_{k + 1} - r_{j + 1}}\] - 所以只有滿足上面這個不等式才能保證\(k\)比\(j\)更優。
- 維護一個單調隊列。隊首維護時間，只有當隊首與隊首\(+1\)不滿足於上面那個不等式時，證明隊首不比第二個優，隊首就可以出隊了。
- 此時隊首一定是最優的，用這個隊首來更新答案。（就相當於原來的轉移方程枚舉\(j\)的過程）
- 隊尾維護單調性。當新加入一個元素\(i\)時，將隊列最後兩個值代入不等式的右邊而得出的值與隊尾和\(i\)代入不等式的右邊得出的值比較，如果右邊小於左邊，說明\(i\)比隊尾更優，則將隊尾踢出。（與題面中求最小值一致）
- 將\(i\)加入隊列。
- 對於每個元素，共進隊一次，出隊一次，時間復雜度\(O(n)\) 。
代碼君
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 50005;
struct Earth {
long long r, c;
bool operator < (const Earth &res) const {return c < res.c;}
} ar[MAXN], a[MAXN]; //結構體，ar為踢去沒用的土地後的數組。
int n, N;
long long f[MAXN];
int head, tail, que[MAXN * 5];
inline double g(int j, int k) {
return (f[j] - f[k]) / (ar[k + 1].r - ar[j + 1].r);
} //將不等式的右邊寫成函數。
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%lld%lld", &a[i].r, &a[i].c);
sort(a + 1, a + n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
while (N && ar[N].r <= a[i].r)
N--; //如果寬比前面的大（排序決定），長也比前面大，就將前面的踢出（單調棧）。
ar[++N] = a[i];
}
head = tail = 0;
que[0] = 0, /*隊列裏存放的是數組下標*/f[0] = 0;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
while (head < tail && ar[i].c >= g(que[head], que[head + 1]))
head++; //維護時間
f[i] = f[que[head]] + ar[que[head] + 1].r * ar[i].c; //更新答案
while (head < tail && g(que[tail - 1], que[tail]) >= g(que[tail], i))
tail--; //維護單調性
que[++tail] = i; //加入元素
}
printf("%lld\n", f[N]);
return 0;
}題解【土地征用_USACO08MAR】(洛谷P2900)